13.4-最短路径问题课件

①两点的所有连线中，________最短；线段②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，__________最短。垂线段知识回顾思考：我们研究过以上这两个问题，我们称它们为最短路径问题．同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最短路径。人教版八年级上册13.4课题学习最短路径问题问题1相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl思考：现在假设点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？··ABP方法：连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求。l情形一：已知两点在直线异侧思考：如果点A，B分别是直线l同侧的两点，又应该如何解决？B··Al情形二：已知两点在直线同侧问题1牧马人到笔直的河边饮水，可以近似看成一条直线，假设到C点饮水，要保证所走的路径最短和那些线段有关？B··Al·C设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）．情形二：已知两点在直线同侧追问1对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·情形二：已知两点在直线同侧·C追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·情形二：已知两点在直线同侧作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C情形二：已知两点在直线同侧问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C情形二：已知两点在直线同侧证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′情形二：已知两点在直线同侧问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′证明：在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．情形二：已知两点在直线同侧总结方法：找到其中某一点关于直线的对称点，将对称点与另一点相连，与直线的交点即为所求。思考：你能总结出这种在直线同侧的方法吗？情形二：已知两点在直线同侧问题2(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）MNABab我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M思考：（1）要保证路径最短就是要使哪些线段的和最小？AM+MN+NBMNABab（2）无论点M,N在什么位置，MN的长度是否发生变化？为什么？由此说明MN的长度是一个定值，要保证AM+MN+NB的和最小，也即是要保证AM+NB的和最小。（3）能否通过图形的变化（轴对称、平移等），像问题1一样，将图形变换到一条线段上？MNABabA‘如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N,点A移动到点A’,则AA’=MN，AM+NB=A′N+NB,也即是求点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？MNABabA’如图，过点A作直线a的垂线，在垂线上截取AA’等于河的宽度，连接A’，B,则其就为最短。此时，线段A’B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN,所得路径AMNB是最短的。你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？MNABabA’M‘N’证明：如图，在直线l上任取一点N′（与点C不重合），过点N′作N′M′⊥a,连接AM′，A′N′，N′B．∵A′B＜A′N′+N′B∴A′N+NB＜AM′+N′B又∵AM=A′N∴AM+NB＜AM′+N′B又MN=M′N′∴AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B总结归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。教科书复习题13第15题．布置作业