全等三角形练习题解析

第1页（共18页）全等三角形练习题解析1．已知：如图，A、F、C、D四点在一直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE，求证：△ABC≌△DEF．【分析】首先根据平行线的性质可得∠A=∠D，再由AF=CD可得AC=DF，然后根据SAS方法证明△ABC≌△DEF即可．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵AF=CD，∴AF+FC=CD+FC，即AC=DF，在△ABC和△DEF中ABDEADACDF，∴△ABC≌△DEF（SAS）．2．已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：△ABC≌△DEF．【分析】求出AC=DF，根据SAS推出两三角形全等即可．【解析】证明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，∴AC=DF，在△ABC和△DEF中，ABDEADACDF∴△ABC≌△DEF（SAS）．第2页（共18页）3．已知：如图，AB=AD，∠C=∠E，∠BAE=∠DAC．求证：△ABC≌△ADE．【分析】先证出∠BAC=∠DAE，再由AAS证明△ABC≌△ADE即可．【解答】证明：∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，CEBACDAEABAD，∴△ABC≌△ADE（AAS）．4．如图所示，已知AC=DE，AF=DB，∠A=∠D，△ABC和△DFE全等吗?并说明理由．【分析】由已知条件“AF=DB”推知AB=DF．所以根据全等三角形的判定定理SAS可以证得△ABC与△DFE全等．【解答】解：△ABC和△DFE全等，理由如下：∵AF=DB，∴AF+FB=BD+FB，∴AB=DF，在△ABC与△DFE中，ACDEADABDF，∴△ABC≌△DFE（SAS）．第3页（共18页）5．已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABE≌△ADE．【分析】先利用AAS判定△DEC≌△BEC，从而得出DE=BE，再利用SAS判定△ABE≌△ADE．【解析】证明：在△DEC和△BEC中∵1234ECEC，∴△DEC≌△BEC（ASA）．∴DE=BE．∵∠3=∠4，∴∠DEA=∠BEA．在△ABE和△ADE中∵AEAEAEBAEDBEDE，∴△ABE≌△ADE（SAS）．6．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．【分析】根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论．【解析】解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，第4页（共18页）1=35DBCCE，∴△ABC≌△DEC（AAS）．7．在△ABC中，高AD与BE相交于点H，且AD=BD，问△BHD≌△ACD，为什么？【分析】首先根据DA和BE是高，可得∠ADB=∠BEC=90°，然后可得∠1+∠C=90°，∠2+∠C=90°，根据同角的余角相等可得∠1=∠2，然后可判定△BHD≌△ACD．【解析】解：∵DA和BE是高，∴∠ADB=∠BEC=90°，∴∠1+∠C=90°，∠2+∠C=90°，∴∠1=∠2，在△BDH和△ADC中12ADCBDHADBD，∴△ADC≌△BDH（ASA）．8．如图，等边△AEB和等边△BDC在线段AC的同侧（AB≠BC），连结AD、EC，试说明△ABD≌△EBC．【分析】利用等边三角形的性质得出∠BAE=∠CBD=∠EBD=60°，进而得出∠ABD=∠CBE，进而利用SAS得出△ABD≌△EBC．【解析】证明：∵在等边△AEB和等边△BDC中，∴∠BAE=∠CBD=∠EBD=60°，∴∠ABD=∠CBE，在△ABD和△EBC中，ABEBABDEBCBDBC，∴△ABD≌△EBC（SAS）．第5页（共18页）9．如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．【分析】根据等边三角形的性质得出BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠ECD=60°，从而得出∠BCD=∠ACE，利用SAS判定△BDC≌△AEC．【解析】解：△BDC≌△AEC．理由如下：∵△ABC、△EDC均为等边三角形，∴BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠ECD=60°．从而∠BCD=∠ACE．在△BDC和△AEC中，BCACBCDACEDCEC∴△BDC≌△AEC（SAS）．10．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．⑴如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=度；⑵设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．【分析】⑴问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；⑵问在第⑴问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和；⑶问是第⑴问和第⑵问的拓展和延伸，要注意分析两种情况．【解析】解：⑴90°．理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC．第6页（共18页）即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，ABACBADCAEADAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，∴∠BCE=∠B+∠ACB，又∵∠BAC=90°∴∠BCE=90°；⑵①α+β=180°，理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，ABACBADCAEADAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；②当点D在射线BC上时，α+β=180°；理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中ABACBADCAEADAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，∴α+β=180°；当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．理由：∵∠DAE=∠BAC，第7页（共18页）∴∠DAB=∠EAC，在△ADB和△AEC中，ADAEDABEACABAC∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，∴∠BAC=∠BCE，即α=β．11．请阅读，完成证明和填空．七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：⑴如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且∠NOC=60度．请证明：∠NOC=60度．⑵如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=，且∠DON=度．第8页（共18页）⑶如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=，且∠EON=度．⑷在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现：．【分析】⑴利用△ABC是正三角形，可得∠A=∠ABC=60°，AB=BC，BM=AN，△ABN≌△BCM，∠ABN=∠BCM，所以∠NOC=∠BCM+∠OBC=∠ABN+∠OBC=60°；⑵同⑴利用三角形全等，可知在正方形中，AN=DM，∠DON=90°；⑶同⑴利用三角形全等,可知在正五边形中，AN=EM，∠EON=108°；⑷以上所求的角恰好等于正n边形的内角2180nn．【解答】⑴证明：∵△ABC是正三角形，∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC，在△ABN和△BCM中，ABBCAABCANBM∴△ABN≌△BCM（SAS）∴∠ABN=∠BCM，又∵∠ABN+∠OBC=60°，∴∠BCM+∠OBC=60°，∴∠NOC=∠BCM+∠OBC=60°；⑵解：在ABNDAM和中ABADABNDAMBNAM∴△ABN≌△DAM（SAS），∴AN=DM，∠ADM=∠BAN，又∵∠ADM+∠AMD=90°，∴∠BAN+∠AMD=90°∴∠AOM=90°；即∠DON=90°．⑶解：在ABNEAM和中ABAENBAMAEBNAM∴△ABN≌△EAM(SAS)，∴AN=ME，∴∠AEM=∠BAN，∴∠NOE=∠NAE+∠AEM=∠NAE+∠BAN=∠BAE=108°；⑷解：以上所求的角恰好等于正n边形的内角2180nn．第9页（共18页）12．如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=12BD，EN=12CE，得到图③，请解答下列问题：若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；【分析】①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；②根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=12BD，EN=12CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．【解答】解：①BD=CE；②AM=AN，∠MAN=∠BAC，∵∠DAE=∠BAC，∴∠CAE=∠BAD，在△BAD和△CAE中∵AEADCAEBADACAB∴△CAE≌△BAD（SAS），∴∠ACE=∠ABD，∵DM=12BD，EN=12CE，∴BM=CN，在△ABM和△ACN中，第10页（共18页）∵BMCNACNABMABAC∴△ABM≌△ACN（SAS），∴AM=AN，∴∠BAM=∠CAN，即∠MAN=∠BAC13．如图，在△ABC中，已知∠DBC=60°，AC＞BC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC外的等边三角形，而点D在AC上，且BC=DC⑴证明：△C′BD≌△B′DC；⑵证明：△AC′D≌△DB′A．【分析】⑴根据SAS先证出△C′BD≌△ABC，再根据SAS证出△ABC≌△B′DC即可；⑵根据⑴的结论，利用SSS证出△AC′D≌△DB′A即可．【解析】证明：⑴∵'CBADBC∴'CBAABDDBCABD即∠C′BD=∠ABC，,60BCDCDBCBCD为等边三角形BDBC在△C′BD与△ABC中，''BDBCCBDABCBCBA，∴△C′BD≌△ABC（SAS），∴C′D=AC，在△ABC与△B′DC中，''BCDCACBBCDACBC，∴△ABC≌△DCB′（SAS）．∴△C′BD≌△B′DC．⑵由⑴的结论知：第11页（共18页）C′D=B′C=AB′，