全称量词与存在量词.ppt

11.4.1全称量词1.4.2存在量词231.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．2．会判断含量词命题的真假.41.短语“________”、“________”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题叫做________．2.全称命题的形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为__________________________．所有的任意一个全称命题∀x∈M，px53.短语“_________”、“_____________”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“________”表示，含有存在量词的命题叫做________．4.特称命题的形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为__________________________．存在一个至少有一个∃特称命题∃x0∈M，px06思考探究如何判断全称命题与特称命题的真假？提示：(1)要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．(2)要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．71.下列命题：①今天有人请假；②中国所有的江河都流入太平洋；③中国公民都有受教育的权力；④每一个中学生都要接受爱国主义教育；⑤有人既能写小说，也能搞发明创造；⑥任何一个数除0都等于0其中是全称命题的有()A．1个B．2个C．3个D．不少于4个解析：②、③、④、⑥都含有全称量词．答案：D8摩托车驾照考试年摩托车科目一考试科目四考试教练员从业资格考试教练员从业资格证理论考试客运从业资格证考试道路旅客运输从业资格证考试货运从业资格证考试道路货物运输从业资格证出租汽车从业资格证考试出租车驾驶员理论考试最新试题92．下列全称命题中真命题的个数为()①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③正四面体中两侧面的夹角相等．A．1B．2C．3D．0解析：①②③均为全称命题且均为真命题，故选C.答案：C103．下列命题不是“存在x0∈R，x203”的表述方法的是()A．有一个x0∈R，使得x203成立B．对有些x0∈R，使得x203成立C．任选一个x∈R，使得x23成立D．至少有一个x0∈R，使得x203成立解析：C答案已经是全称命题了．答案：C114．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x2)0”用“∃”写成特称命题为______________________________．解析：“有些”即存在．∃x0∈R，x00，(1＋x0)(1－9x20)0125．判断下列命题是全称命题还是特称命题？并判断其真假．(1)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；(2)每个二次函数的图象都与x轴相交；(3)若对所有的正实数，不等式m≤x＋1x都成立，则m≤2；(4)如果对任意的正整数n，数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b为常数)，那么数列{an}为等差数列．13解：(1)特称命题．∵x2＋x＋8＝(x＋12)2＋3140，∴命题为假命题．(2)全称命题，假命题，如∃y＝x2＋x＋1与x轴不相交．14(3)全称命题．∵x是正实数，∴x＋1x≥2x·1x＝2(当且仅当x＝1时“＝”成立)．即x＋1x的最小值是2，而m≤x＋1x，从而m≤2.所以这个全称命题是真命题．15(4)全称命题．∵Sn＝an2＋bn，∴a1＝a＋b.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn－a·(n－1)2－b(n－1)＝2na＋b－a，所以an＝2an＋b－a(n∈N*)．从而数列{an}是等差数列，即这个全称命题也是真命题．16171.全称命题与特称命题的构成形式判断一个命题是否为全称命题或特称命题，关键是看命题中是否含有全称量词或存在量词，并熟悉以下表述方法18命题全称命题“∀x∈M，p(x)”特称命题“∃x0∈M，p(x0)”表述方法①对所有的x∈M，p(x)成立②对一切x∈M，p(x)成立③对每一个x∈M，p(x)成立④任选一个x∈M，p(x)成立⑤凡是x∈M，都有p(x)成立①存在x0∈M，使p(x0)成立②至少有一个x0∈M，使p(x0)成立③对有些x0∈M，使p(x0)成立④对某个x0∈M，使p(x0)成立⑤有一个x0∈M，使p(x0)成立19注意：有些全称命题文字叙述中会省略全称量词，如“等腰三角形两底角相等”，另外全称命题和特称命题也可能包含多个变数．如∀x∈R，y∈R，(x＋y)(x－y)0.∃x0∈R，y0∈R，x20＋y20＝1.202．全称命题与特称命题真假的判断判断全称命题：“∀x∈M，p(x)”的真假时，可以先考虑它是否为假，即研究是否“∃x0∈M，p(x0)不成立”，如果找不到反例，就从正面证明．判断特称命题“∃x0∈M，p(x0)”的真假时，可以先考虑它是否为真，即能否找到一个x0符合题意，若找不到，可证明“∀x∈M，綈p(x)”为真，从而说明原命题为假.21全称命题与特称命题的判断例1判断下列语句是全称命题，还是特称命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有些素数的和仍是素数；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．22[分析]先看是否有全称量词和存在量词，当没有时，要结合命题的具体意义进行判断．23[解](1)可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故为特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故为全称命题．(4)含有存在量词“有些”，故为特称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．24[点拨]判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．25练1判断下列语句是全称命题还是特称命题：(1)有一个实数α，tanα无意义；(2)任何一条直线都有斜率吗？(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；(4)圆内接四边形，其对角互补；(5)指数函数都是单调函数．26[答案](1)特称命题(2)不是命题(3)全称命题(4)全称命题(5)全称命题27全称命题与特称命题的真假例2判断下列命题的真假：(1)有些三角形的重心在某一边上；(2)∃x0，T≠2π，使sin(x0＋T)＝sinx0；(3)∀x∈R，x2＋20；(4)所有的直线都有斜率．28[解](1)三角形的三条边的中线的交点叫做三角形的重心，所有三角形的重心都在三角形内部，所以有些三角形的重心在某一边上是假命题．(2)∃x0＝π4，T＝π2，使sin(π4＋π2)＝cosπ4＝sinπ4＝22，所以是真命题．(3)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥20，即x2＋20.所以命题“∀x∈R，x2＋20”是真命题．(4)当直线的倾斜角等于90°时不存在斜率，故所有的直线都有斜率是假命题．29[点拨](1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)判断特称命题“∃x0∈M，p(x0)”的真假性的关键是探究集合M中x0的存在性．若找到一个元素x0∈M，使p(x0)成立，则该命题是真命题；若不存在x0∈M，使p(x0)成立，则该命题是假命题．30练2(2010·湖南高考)下列命题中的假命题是()A.∀x∈R,2x－10B.∀x∈N*，(x－1)20C.∃x0∈R，lgx01D.∃x0∈R，tanx0＝231[解析]A中命题是全称命题，易知2x－10恒成立，故是真命题；B中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是特称命题，当x＝1时，lgx＝0，故是真命题；D中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题．[答案]B32含有量词的命题的应用例3已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．(2)若至少存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)0成立，求实数m的取值范围．33[分析]有关一元二次不等式ax2＋bx＋c0(0)恒成立的问题，一是转化为二次函数的图象运用数形结合求解，二是分离参数法求解．前者主要运用Δ＝b2－4ac的符号，转化为不等式或不等式组，后者常常转化为求函数的最大(小)值．一般地，对任意的实数x，af(x)恒成立，只需af(x)max.若存在一个实数x0，使af(x0)成立，只需af(x)min.34[解]解法一：(1)不等式m＋f(x)0可化为m－f(x)，即m－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)0对于任意x∈R恒成立，此时需m－4.35(2)不等式m－f(x0)0，可化为mf(x0)，若至少存在一个实数x0使不等式mf(x0)成立，只需mf(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m4.所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．36解法二：(1)要使不等式m＋f(x)0对∀x∈R恒成立，即x2－2x＋5＋m0对∀x∈R恒成立，∴Δ＝(－2)2－4(5＋m)0，解得m－4，∴当m－4时，m＋f(x)0对于任意x∈R恒成立．(2)若至少存在一个实数x0，使m－f(x0)0成立，即x20－2x0＋5－m0成立．只需Δ＝(－2)2－4(5－m)0即可，解得m4.所以实数m的取值范围是(4，＋∞)．37[点拨]解决有关存在性命题的参数取值范围问题，应尽量分离参数，若得到g(a)＝f(x)成立，则只需求f(x)的值域B，进而确定使g(a)∈B的a的值即可．若g(a)f(x)，则只需确定g(a)f(x)的最小值即可．类似地，对于全称命题(特别是恒成立)的问题，也应尽量用分离参数法来求解．38练3已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．[解]命题p：x2－a≥0即a≤x2，∵x∈[1,2]时，上式恒成立，而x2∈[1,4]，∴a≤1.命题q：Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0即a≥1或a≤－2.∵p且q为真命题，∴p，q均为真命题．∴a＝1或a≤－2.即实数a的取值范围是{a|a＝1或a≤－2}．3940一、选择题1．下列命题中是全称命题并且是真命题的是()A．每个二次函数的图象都开口向上B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤bC．存在一条直线与两个相交平面都垂直D．存在一个实数x0使不等式x20－3x0＋60成立解析：C、D是特称命题，A是假命题．答案：B412．“存在集合A，使ØA”，对这个命题，下面说法中正确的是()A．全称命题、真命题B．全称命题、假命题C．特称命题、真命题D．特称命题、假命题解析：当A≠Ø时，ØA，是特称命题，且为真命题．答案：C423．(2010·湖南高考)下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lgx＝0B．∃x∈R，tanx＝1C．∀x∈R，x30D．∀x∈R,2x0解析：选项A，lgx＝0⇒x＝1；选项B，tanx＝1⇒x＝π4＋kπ(k∈Z)；选项C，x30⇒x0；选项D,2x0⇒x∈R，故选C.答案：C434．给出下列命题：①存在实数x01