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2003级硕士生“概率论与随机过程”试题任课教师:唐碧华(请将答案写在答题纸上,否则一律无效)一、概念题:(每小题5分,共15分)1.简述可测函数的基本概念,并说明它与随机变量的区别与联系。2.用数学语言描述马尔可夫过程。3.用数学语言描述Lebesque-Stieltjes积分。二、填空题(每小题3分,共9分)1.在条件下,P(A/B)=P(A);在条件下,P(A∪B)=P(A)+P(B)。2.设ξ服从分布:,2,1,0,1,10,kpqppqkPk,则ξ的特征函数为。3.在条件下,两个随机过程{X(t),t∈T},{Y(t),t∈T}相互正交;在条件下,两个随机过程互不相关。三、(10分)设随机变量),(YX的联合分布律为:YX012311/4001/1621/161/401/4301/161/160(1)求YX,的边缘分布律;(2)判断X与Y是否相互独立;(3)求2X时Y的条件分布律;(4)求2X时Y的条件数学期望;(5)求2X时Y的条件方差四、(12分)设(X,Y)的联合密度函数为:代数。代数之交仍为分)证明:两个五、(不独立。,,但,试证:的特征函数为的特征函数,并令,分别表示, 以其它 701,11),(21212241YXttttYXZYXttyxyxxyyxf八、(10分)有三个黑球和三个白球。把这六个球任意等分给甲、乙两个袋中,并把甲袋中的白球数定义为该过程的状态,则有四个状态:0,1,2,3。现每次从甲、乙两袋中各取一球,然后相互交换,即把从甲袋取出的球放入乙袋,把从乙袋取出的球放入甲袋,经过n次交换,过程的状态为4,3,2,1,nnX。(1)试问该过程是否为马尔可夫链;(2)计算它的一步转移概率矩阵。九、(10分)设马氏链的转移概率矩阵为:0010001100001ppppppP试讨论该马氏链的状态分类、周期及平稳分布。十、(10分)设随机过程212sinAtX,其中A为常数,1和2为相互独立的随机变量,1的概率密度函数为偶函数,2在,内均匀分布,证明:(1)tX为宽平稳过程;(2)tX的均值是各态历经的。2005级硕士生“概率论与随机过程1、2、3班”试题(请将答案写在答题纸上,否则一律无效)三、概念题:(每小题5分,共10分)4.用数学语言描述测度和概率,并说明其本质的区别所在。5.用数学语言描述随机过程。四、填空题(每小题3分,共9分)1.随机变量的数学期望表示为可测函数的积分形式为,表示。的一维和二维分布函数数分别为的均值函数和自相关函证明 :,定义另一个随机过程和任意实数分)给定一个随机变量七、(均方收敛于零。,证明和其分布为的独立随机变量序列,或是取值为分)设六、(ttxtxttxtnpnpnnn01101101110,2,1,7为数学期望的L-S积分形式为。2.在条件下,两个随机过程{X(t),t∈T},{Y(t),t∈T}相互正交;在条件下,两个随机过程互不相关。3.在条件下,二阶矩过程{X(t),t∈T}为宽平稳过程。三、(10分)证明:若一集代数是单调类,它一定是-代数。四、(12分)设随机变量),(YX的联合分布律为:012314100161216141041301611610(6)求YX,的边缘分布律;(7)判断X与Y是否相互独立;(8)求在2X时Y的条件分布律;(9)求/2EYX;(10)求V=max(X,Y)的分布律;(11)求U=min(X,Y)的分布律;(12)W=X+Y的分布律。五、(10分)设(X,Y)的联合密度函数为:其它01yx0kyxf , 求:(1)y/xfx/yfY/XX/Y和;(2)y/xEx/yEY/XX/Y和六、(8分)对下列分布函数求特征函数:axaxaaxxFaax 102七、(7分)设随机变量:,, 次试验中出现在第若 21其它01iiAxi试利用Chebyshev不等式证明:(1)这些随机变量的样本均值:nxxxnn1当n时依概率收敛于p;(2)判断nxxxnn1当n时是否几乎处处收敛于p?八、(8分)设{,,,}12nYn是相互独立的随机变量序列,且1(1),nPYn1()10nPYn。证明:nY均方收敛到0。九、(7分)已知某平稳过程的相关函数cos()0aRe,其中a0,0为常数.求该随机过程的谱密度函数。十、(9分)连续掷一骰子,以Xn记前n次投掷中出现的最大点数,则{Xn,n1}为Markov链,试求其n步转移概率矩阵。十一、(10分)设马氏链的状态空间E={1,2,3,4,5},转移概率矩阵为:100111002110001100110010224422022022P讨论其状态分类,并求其常返闭集的平稳分布。
本文标题:2003级北邮硕士生“概率论与随机过程”试题
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