北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案

1北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一.单项选择题和填空题：（每空3分，共30分）1.设A是定义在非空集合上的集代数,则下面正确的是.A（A）若ABA,A,则ABA;（B）若AABA,,则BA;（C）若12nAnA,,,,则1nnAA;（D）若12nAnA,,,,且123AAA,则1nnAA.2.设,F为一可测空间，P为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是.c（A）若ABF,F,则()()()PABPAPB；（B）若12nAnF,,,,,且123AAA，则1li()()mnnnnPAAP；（C）若ABCF,F,F,，则()()()()PABCPAPABPABC；（D）若12nAnF,,,,,且,ijAijA，11()()nnnnPPAA.3.设f为从概率空间,PF,到Borel可测空间,RB上的实可测函数，表达式为1000()kAkfkI，其中1000,,ijnnijAAA，则fdP；2若已知100100!1!(100)()!2kkkPA，则2fdP.02010(),25502525kkkPA4.设二维随机变量(,)XY的概率密度2,01,0,(,)0,xyxfxy其他，则[[|]]EEXY=.2/35.设随机过程,}{()cosXtXtt，其中随机变量X服从参数为1的指数分布，(0,/2)为常数，则（1）(1)X的概率密度(;1)fx；（2）20(())EXtdt.,0,(;1)01,xcosxecosfx其他，20(1())EXtdt6.设{(),0}Wtt是参数为2()0的维纳过程，令1()()XtWt，则相关函数2(1,2)2XR.7.设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E,一步转移概率为0.50.500.50.500.20.30.5P则（1）()11limnnp；（2）()330nnp.1/2,2二.概率题（共30分）1.(10分)设(,)XY的概率密度为322122221(,)2xxfxye,令22,UXYVY,（1）求(,)UV的概率密度(,)guv；（2）求U的边缘概率密度()Ugu.解解.（1）解方程22,,uxyvy得22,||,,vuxuvyv所以雅可比行列式22222222201uuJuvuvuvv,故222221,||,(,)(,)||20,uuevuguvfxyJuv其他.……5分（2）对0u，222221(,))2(uuUuugueguvdduvvv22222222212uuuuedveuvuu,故222,0,()20,.uUeuugu其他……10分2.（10分）设(,)UV的概率密度,0,0,(,)0,ueuvvguv其他，（1）求{1}|1()0VUEI，其中{1}{1,(}),10VVI，其他，（2）(|)DVU.4解U的边缘概率密度为00,0,,0,()(,)0,,0,,uuuuUedvueuuuvdugvg其他其他所以条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,VUUvuguvvuuggu其他.……4分（1）101{1}|10111()(1|10).102|10(|10)VVUEIPVUUvugdvdv……7分（2）因为21(|)2DVUuu，所以2(|)12DUUV。……10分3.（10分）设12,,,nXXX独立同分布，均服从两点分布，即11{0},{1}=1-,(01)PXpPXpp，令12nXXXY，（1）求Y的特征函数；（2）求3()EY.解:（1）因为Y服从二项分布(,)Bnq，所以Y的特征函数()()itntpqe……5分（2）132()()nnEEXYXX231,1,,,1,()()nnniijijkiijjiijkEXEXXEXXX互不相等23(1)(1)(2)nqnnqnnnq……10分5三.随机过程题（共40分）1.（10分）设1()(0)Xtt是参数为(0)的泊松过程，即满足：(1)1(0)0;X(2)1()Xt为独立增量过程；(3)对,0,st有(){()()},0,1,!kttePXstXskkk.2()(0)Xtt也是参数为(0)的泊松过程，且与1()Xt独立，令12()()()YtXtXt，（1）求()(,)YYtRst和；（2）求{(1)1}PY.解：因为12()()()YtXtXt是参数为2的泊松过程，所以（１）2()2(,),min{,}24YYtRststst……5分（２）2{(1)1}2ePY……10分2.（10分）设{(),}tXt是平稳过程，()f是其谱密度函数，（1）证明：对于任意的0h，()()()YtXthXt是平稳过程；（2）求()Yt的谱密度.解（1）0[()][()()]EYtEXthXt,[()()][()()][()()]EYtYtEXthXtXthXt()()(2)XXXhhRRR与t无关，则()()()YtXthXt是平稳过程。……5分（2）1()()()()]2[2XXXihhdfeRRR2()()()ihihfefef2()(1cosh)f.……10分63.（10分）设齐次马氏链}0,{nXn的状态空间为}2,1,0{E，一步转移概率矩阵为1/21/41/41/201/21/21/20P，初始分布为0001{0}{1}{2}3PXPXPX,求(1)124{1,1,2}PXXX和1240{1,1,2|=0}PXXXX;(2)2X的分布律.解(1)21/21/41/41/23/81/81/21/83/8P(1)(1)(2)011112124{1,1,2}0}{iiPXiXpPXppX1240011112{1,1,2|=0}(2)0PXXXXppp……６分(2)21/21/41/4111(2)(0)1/23/81/8,2441/21/83/111,,,3338ppP……10分4.（10分）齐次马氏链{,0}nXn的状态空间为{1,2,3,}，一步转移概率矩阵为7110000000022110000000022110000000022000100000011110000004444120000000033120000000033120000000033120000000033P确定该链的空间分解，状态分类，各状态的周期，并求平稳分布.解.（1）链可分,{1，3}{4}是不可分闭集,状态空间{3}{1,{4}2,5,6,7,}E……2分（2）周期()1,1,2,...dii.……4分（3）设平稳分布为12(,,),则,11,1,2,iiiPi解之得(,0,,,0,0,)pqp,其中0,0,21qppq.……7分（4）所以1,3,4正返态,其余都不是常返态，又因为42241111,1,1,6,7,243iifffi，所以2,4,6,7,都为非常返态。……10分