牛顿微积分

第十五章领悟飞逝的瞬间：微积分一、微积分的定义二、微积分的先驱三、牛顿和莱布尼茨的微积分四、微积分面临的困境一、微积分的定义微积分是微分和积分的总称，它是一种数学思想，“无限细分”就是微分（求瞬时速度、曲线的切线），“无限求和”就是积分（求曲边三角形的面积、体积等），两者是互逆的。若f(x)在[a,b]上连续，是[a,b]内一点，若极限对任意的x0都存在，则称极限为f(x)在点x=x0处的导数，记作)(0'xf0xxxfxxfx)()(lim000即为求导的过程积分求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法（1）分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿xban=11211,,,,,,,,,iinaxxxxxxb（2）以直代曲:任取xi[xi1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi),宽为x的小矩形面积f(xi)x近似地去代替。（3）作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：1()niiSfxx=（4）逼近:所求曲边梯形的面积S为10,()()niixfxSnx=y=f(x)xyObax二、微积分的先驱（1）欧多克斯（公元前408—前355）的“穷竭法”（就是指某个图形（如圆）被另一个图形（如内接多边形）所逐步“穷竭”，即填满）在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小。（2）阿基米德（公元前287-212）在《圆的度量》中，用穷竭法求出了圆周长和面积公式，他从圆的内接正三角形开始，变数逐步加倍，计算到正96边形时得到了圆周率的近似值为，还证明了与球的表面积和体积相关的重要结果。设圆面积为A，三角形的面积为T，证明AT和AT都不可能，所以A=T。（3）刘徽（约320年）他指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”刘徽从圆内接正六边形出发，并取半径为1尺，一直计算到192边形，得出了圆周率的精确到小数点后二位的近似值，化成分数为，这就是有名的“徽率”。14.35015717世纪以来，随着生产实践的深入和对自然现象的深刻认识，对数学提出了大量的问题，主要集中在：（1）由距离和时间的关系，求物体在任意时刻的瞬时速度和加速度；（2）确定运动物体在其轨道上任一点的运动方向，以及研究光线通过透镜而提出的切线问题；（3）求函数的最大值和最小值（极值问题）；（4）求曲线的长度、曲线围成的面积、体积，物体的重心等等。（4）开普勒与旋转体积开普勒第二定律：行星与太阳之间的半径在相等的时间里扫过的面积相等。他将椭圆分割成许多小三角形相加，进而利用积分的方法粗略地求出椭圆的面积。《求酒桶体积之新法》(Novastereometriadoliorumvinariorum,Linz,1615)注意：封面标题中“stereometriaeArchimedeaeSupplementum”设旋转体是由连续曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(ab),及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转而成，求其体积v。在区间[a,b]上点x处垂直x轴的截面积为)()(2xfxA=在x的变化区间[a,b]内积分，得旋转体体积为dxxfVba=)(2OyxbaA(x)（5）卡瓦列里：不可分量原理如果两个平面图形夹在同一对平行线之间，并且被任何与这两条平行线保持等距的直线截得的线段都相等，则这两个图形的面积相等。类似的，如果两个立体图形处于一对平行平面之间，并且被任何与这两个平行平面保持等距的平面截得的面积都相等，则这两个立体的体积相等。“缘幂势即同，则积不容异”---祖暅原理（6）费马求极值的“虚拟等式法”1637年，费马在一份名为《求最大值和最小值的方法》的手稿中，使用“虚拟等式法”。比如一个传统的问题：把定长的线段b分成两段x和b-x.何时乘积x(b-x)为最大？费马的方法是：以x+e代替x，即x+e≈x，因为引入“虚拟等式”:展开得：消去相同的项，余项除以e,得：2x+e≈b舍弃含e的项，得真正等式:x=b/22222)()()]()[(exexbebxexexbexbex==)]()[()(exbexxbx2222exexbebxxbx（7）巴罗的“微分三角形”（运用几何的方法）OTNMPQReaQRPRTMPM=巴罗的方法实质上是把切线看做是a和e趋于零时割线PQ的极限位置。这时，微积分的诞生正处于一个突破口，需要的任务是：（1）澄清概念:比如何为“变化率”?何为“瞬时速度”？（2）提炼方法:建立具有普遍意义的一般方法；（3）改变形式:将几何形式变为解析形式，从而摆脱对具体问题的依赖；（4）建立微分与积分的联系：这是最重要、也是最关键的。eaty=三、牛顿和莱布尼茨的微积分牛顿假定有一条曲线y,而且曲线下的面积为z（左图），已知有其中m是整数。他把x的无限小的增量叫做x的瞬（moment）,并用ο表示，由曲线、x轴、y轴和x+ο处的纵坐标围成的面积，用z+οy表示，其中οy是面积的瞬，那么，将右边运用二项式定理展开，与原式相减，用ο除方程的两边，略去仍然含有ο的项，得到（1）求曲线围成的面积moxaoyz)(=1max=my（2）求瞬时速度伽利略早已提出了物体下落的距离与时间关系的公理216td=可知2秒末下落的距离为642162==d我们假设在2秒之后时间间隔为时，物体下落的距离为，则22166464)2(1664==s21664=s两边同除以得=1664s当趋近于0时，等式右边趋近于64，这与直接将替换成0是不同的，当为0时，s也为0，0除以0是没有意义的，而当趋近于0时，这一过程是连续而非瞬时完成的，这样就符合数学上了逻辑理论了。这样便得出了2秒末的瞬时速度，而且据此得出一个一般性的公式tv32=（3）微积分与最值问题例1：求物体上升的最大高度假设球在地球上方的高度h由公式216128tth=利用微积分可以求出h对t的瞬时变化率，即可得出速度的公式tv32128=当上升到最大高度时，速度为0，即可求出此时的时间t为4秒，在代入上述公式，便可得出最大高度。例2：光线在同种介质中选择走最短的和需要时间最短的路线例3：光在不同介质中仍然倾向于走最短的路径2sin1sin21=cc由于微积分可以用来确定变量的最值，因此可以用其来确定光线的路径。（费马原理：光线从一点到另一点，总是走所需时间最短的路线。）例4：最小作用原理在给定体积的情况下，算出正方体表面积大约是球的1.24倍。球的表面积最小。尽管如此，自然界的现象并不总是服从这一原理，有的倾向于最大化。微分积分符号牛顿力学，速度模型微分的反运算—“不定积分”“点”：ẏ，ÿ莱布尼兹几何，特征三角形微分求和—“定积分”“d”，“∫”牛顿与莱布尼兹微积分的比较四、微积分面临的困境对于无限接近一词不能给出符合逻辑的解释，从而使得微积分缺乏严密性。尽管有众多的争论和怀疑，但是由于微积分在物理学、天文学等实际应用中获得了良好的效果，并且推动了物理学的极大进步，许多科学家对于它的缺陷也“置之不理”了。