弹性力学最小势能

•最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定平衡状态。举个例子来说，一个小球在曲面上运动，当到达曲面的最低点位置时，系统就会趋向于稳定平衡。•势能最小原理与虚功原理本质上是一致的。宇宙万物，如果其势能未达到“最小”（局部概念），它总要设法变化到其“相对”最小的势能位置。举个例子：一个物体置于高山上，它相对于地面来说有正的势能（非最小），因而它总有向地面运动的“能力”（向地面“跃迁”，其力学本质是它处于一种不稳平衡状态）。因此，它试图（也只有）向下运动，才能保证其达到一个相对平稳的状态。•最小势能原理是势能驻值原理在线弹性范围里的特殊情况。对于一般性问题：真实位移状态使结构的势能取驻值（一阶变分为零），在线弹性问题中取最小值。•形象地说，当你在一百米高的钢丝绳上走的时候你总是希望尽早回到地上，但其实只要你不动你也是平衡的，因为驻值也可以是极大值（此时称为随遇平衡）。而当你在一百米高的大楼里的办公室里时，你并不害怕，因为周围的物体的势能均不比你小，此时驻值取的是极小值而不是最小值。•1.根据虚功方程推导仅应用于弹性体的最小势能原理•设应变能密度函数是应变分量的函数，则应变能密度函数的一阶变分为•上式推导中，应用了格林公式•将上式代入虚功方程，则上式表示外力虚功等于弹性体应变能的一阶变分。定义外力势能为注意到虚位移与真实的应力无关，因此在虚位移过程中外力保持不变，即变分与外力无关。而且积分和变分两种运算次序可以交换的，所以外力势能的一阶变分可以写作回代可得•其中Et称为总势能，它是应变分量的泛函。由于应变分量通过几何方程可以用位移分量表示，所以总势能又是位移分量的泛函。•公式表明，在所有几何可能的位移中，真实位移将使弹性体总势能的一阶变分为零，因此真实位移使总势能取驻值。•2以下证明：对于弹性体的稳定平衡状态，总势能将取最小值•将几何可能位移对应的应变代入总势能表达式，可以得到几何可能位移对应的总势能•将上式减去真实应变分量的总势能，可得•将按泰勒级数展开，并略去二阶以上的小量，有•有•回代可得•由于总势能的一阶变分为零，因此•总势能的二阶变分为•由于•由于应变能密度函数为正定函数，即只有在所有的应变分量全部为零时其才可能为零，否则总是大于零的，因此•所以•以上证明了在所有的可能位移场中，真实位移场的总势能取最小值。所以这一原理称最小势能原理。数学描述即总势能的一阶为零，而且二阶变分是正定的（大于零）。•必须强调指出的是，真实位移与其他的可能位移之间的差别在于是否满足静力平衡条件，所以说最小势能原理是用变分形式表达的平衡条件。•通过总势能的一阶变分为零，可以推导出平衡微分方程和面力边界条件，这和虚功原理是相同的，即最小势能原理也等价于平衡微分方程和面力边界条件。•虚功原理和最小势能原理之间的差别在于：虚功原理不涉及本构关系，适用于任何材料，只要满足小变形条件；最小势能原理除了小变形条件之外，还需要满足应变能密度函数表达的本构关系，因此仅限于线性和非线性弹性体。•3结论最后，将最小势能原理完整的叙述为：在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值。该方法是以位移函数作为基本未知量求解弹性力学问题的。当然，选择的位移函数必须是在位移已知的边界上满足位移边界条件，对于面力边界是不需要考虑的，因为面力边界条件是会自动满足的。•参考文献：•［1］徐芝纶.弹性力学简明教程(第三版)［M］.北京：高等教育出版社，2002.•［2］吴家龙.弹性力学［M］.上海：同济大学出版社，1987.•［3］徐建平.变分方法［M］.上海：同济大学出版社，1999.•［4］胡海昌.弹性力学的变分原理及其应用［M］.北京：科学出版社，1981.•［5］李遇春.弹性力学课件［CP/DK］.上海：同济大学结构工程与防灾研究所.•PrincipleofMinimumPotentialEnergyinTheoryofElasticity•WeiShuqiang•（CivilEngineeringCollegeofTongjiUniversity,Shanghai200092）•Abstract:Theelastomerattheequilibriumcondition,theactualdisplacementmakesaminimumofthetotalpotentialenergyfortheelastomer;thisistheminimumpotentialenergyprinciple.•Keywords:minimumpotentialenergy;principleofvirtualwork;theelasticitymechanics