巧用旋转解难题

25．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的两点，若EF=BE+DF．（1）求证：∠EAF=45°；（2）作∠EFC的平分线FG交AE的延长线于G，连接CG，如图2．求证：CG=(BC-CF)；（3）若F是DC的中点，AB=4，如图3，求EG的长．2ADCFEHB分析：将△ADF绕点A顺时针90°得△ABH.旋转旋转是几何三大变换之一，通过旋转，有利于把分散的几何条件集中在一起，然后运用旋转的“不变性”可以使一些问题迎刃而解.一般地说,当题目出现“共点等线”(即有相同的端点和相等线段)的条件时可考虑以该端点为旋转中心进行旋转变换.DFCEBA★1、以正方形为背景的旋转问题1.如图，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点。①若∠EAF=45º，求证：EF=BE+DF.②若△AEF绕A点旋转，保持∠EAF=45º，问△CEF的周长是否随△AEF位置的变化而变化？FEDCBAG还有其他结论吗？1.旋转时要注意叙述清楚三要素：中心、方向、大小；2.有时要证明三点共线温馨提示BACED★2、以等边三角形为背景的旋转问题点P是等边三角形ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10,求∠APB的度数.BACPP'PACB6810分析：将△PAC绕点A逆时针60°旋转后，得到△PAB，则点P与点P之间的距离为，∠APB=.66106150°''3.在等腰△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，∠ADB＝∠ADC，求证：∠DBC＝∠DCB.★3、以等腰三角形为背景的旋转问题CNAMB★4、以等腰直角三角形为背景的旋转问题4.在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90º,AB=AC,D、E为斜边BC上两点，且∠DAE=45°,求证:BD2+CE2=ED2ACEDB在题设中有哪些条件时，可以考虑尝试用旋转法来分析？等线段，共端点（等邻边）在用旋转法解决问题时要注意些什么？1.旋转时要注意叙述清楚三要素：中心、方向、大小；目的：把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。2.有时要证明三点共线正方形等腰三角形等边三角形5.已知，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC.(1)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P‘CB的位置（如图①）．若PA=2，PB=4，∠APB=135o，求PC的长．(2)如图②，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上．已知点P是正方形ABCD内的一点，连接PA、PB、PC.（1）将△PAB绕点B顺时针旋转到△P‘CB的位置，在图1中，若PA=2，PB=4,∠APB=135°，求PC的长；（2）在图2中，若PA2+PC2=2PB2，请说明P必AC在上.ABCDPP'P'P图2图1ABCD241350242一起来分享我们经历了怎样的数学活动？我掌握了哪些方法？还有其他感想或疑惑吗？正方形等边三角形等腰三角形……等邻边集中分散元素生出证明思路旋转平移翻折（必作）△ABC中，AB=AC,点D为△ABC外一点，连接DA,DB,DC,∠BDC=120°，∠BAC=60°,如图，求证：DA=BD+CD（选作）如图，E、F、G、H分别为正方形ABCD四条边的中点，图中的阴影部分的面积为５，则正方形ABCD的边长是多少？FABCDEGHMNABDC最轻微的运动可以影响整个自然，一块岩石可以使大海发生变化--帕斯卡尔2、如图，E、F、G、H分别为正方形ABCD四条边的中点，图中的阴影部分的面积为５，则正方形ABCD的边长是多少？HBCDEFGM′N′FABCDEGHMNA