四川大学离散数学(冯伟森版)课后习题答案习题6

习题6.1解：（1）、全函数（2）、不符合单值（3）、全函数2.解：(1){(n1,n2)|n1,n2(N,02n1-n25}不是函数，n1=0时无定义，且(3,4),(3,5)在其中。(2){(n1,n2)|n1,n2(N,n2是n1的正因子个数}部分函数，n1=0时无定义(3){(S1,S2)|S1,S2({a,b,c,d}且S1(S2=(}不是函数，因为({a},{b}),({a},{c})均在其中。(4){(a,b)|a,b(N,gcd(a,b)=3}不是函数，因为(3,3),(3,6),(3,9)均在其中。(5){(x,y)|x,y(Z,y=x2}全函数4、解:可以定义nn个二元关系，n！个全函数5.解：(fºg)(x)=2x2+2x-2(gºfºh)(x)=(g(f(h(x)))=…=4(x-2)2+2(x-2)-1(hºhºg)(x)=(h(h(g(x)))=…=x2+x-56.解：（1）∵f=g，则对于所有x(A，都有f(x)=g(x),所以，对于所有的x(A，h(f(x))=h(g(x)),f(h(x))=g(h(x))即h。f=h。g（2）∵h。f=h。g则，h(f(x))=h(g(x)),当对于A中任意两个不同的元素x,y都有h(x)≠h(y)时，f=g；当A中存在两个不同的元素x,y有h(x)=h(y)，即对于同一个元素z,当f(z)=x,g(z)=y，则有h(f(z))=h(g(z))，而此种情况下f≠g综上，当h。f=h。g时，f不一定等于g7.证明：b(f(A)-f(C)(b(f(A)(b(f(C)(((x)[x(A(x(C(f(x)=b](((x)[x(A-C(f(x)=b](b(f(A-C)所以f(A)-f(C)(f(A-C)8.证明：（1）y∈f(A∪B)(((x)[x∈(A∪B)∧f(x)=y](((x)[x∈A∧f(x)=y]∪((x)[x∈∪B∧f(x)=y](y∈f(A)∪y∈f(B)∴f(A∪B)=f(A)∪f(B)（2）y∈f(A∩B)(((x)[x∈(A∩B)∧f(x)=y](((x)[x∈A∧f(x)=y]∩((x)[x∈B∧f(x)=y](y∈f(A)∩y∈f(B)∴f(A∩B)(f(A)∩f(B)习题6.21.解：确定下列映射是否单射、满射或双射：(1)f:N→R,f(n)=lnn单射(2)f:N→N,f(n)为不超过n的素数数目满，非单。如f(5)=f(6)=3(3)f:N(N→N,f(n1,n2)=(n1+1)n2非单,非满。f(0,1)=f(1,0)=1,且f(x,y)=0无解。(4)f:R→R,f(x)=x2+2x-15非单,非满。(5)f:Z→Z,f(x)=1+2x3单,非满。1+2x3=5无解。(6)A是集合，f:2A(2A→2A(2A,f(x,y)=(x(y,x(y)非单:({a}({b},{a}({b})=({a,b}((,{a,b}(()非满:(x(y,x(y)=({a},{a,b})无解。(7)f7:R(R→R,f7(x,y)=x+y非单,满.f(1,3)=f(2,2)f8:R(R→R,f8(x,y)=xy非单,满.f(1,3)=f(3,1)2.证明：(1).当f是单射时，根据单射定义，对所有t,s∈X,当t≠s时，f(t)≠f(s),则f(x)中的元素个数与X中的元素个数相同；又∵f:X→X，所以，f(x)是一个满射∴f必是双射。(2)当f是满射时，根据满射定义及f的定义，对所有y∈X，都存在x∈X，使f(x)=y，再根据函数的单值性，对所有t,s∈X,当t≠s时，f(t)≠f(s)。∴f必是双射。3.证明：设x,y是有限集X上的2个元素，如果f(x)=f(y),则x=f2(x)=f2(y)=y，说明是单射，由上题结果知f是双射。4、证：5.解：设A、B中元素个数分别为：m、n,则单射个数为：n(n-1)(n-2)…(n-m)满射个数为：nm,双射个数为：n!或m!，即m=n?????????????6.解：f。g=(2x-1)2+2,函数图形为以x=1/2为对称轴的一个抛物线，由题，f,g都是实数上的函数，则f。g不是单射，不是满射，也不是双射；g。f=2(x2+2)-1=2x2+3,函数图形为以Y坐标为对称轴的抛物线，f(x)=f(-x)，所以，g。f不是单射，不是满射，也不是双射。7、证：习题6.4:3．证明：非空有限集A与可数集B的笛卡尔积A×B也是可数集。证明：设A={a1,a2,…,an｝B={b1,b2,…,bn,…}令Bi={(ai,b1),(ai,b2),…,(ai,bn),…}(i≤n),则A×B=,因为B为可数集，所以Bi为可数集。A×B为有限个可数集的并集。下面用归纳法证明有限个(m个)可数集的并集为可数集。设Cm={cm1,cm2,…,cmn,…}当m=2时，构造双射f:N→C1∪C2,N123456…n-1n…f(N)c11c21c12c22c13c23…c1(n/2)c2(n/2)…所以2个可数集的并集为可数集。假设m=k-1(k≥3)时结论成立，即k-1个可数集的并集为可数集，记为D。则m=k时，可以构造类似的双射g:N→D∪Ck,所以为可数集。因而有限个可数集的并集为可数集。所以A×B是可数集。习题6.24、证：7、证：习题6.4:3．证明：非空有限集A与可数集B的笛卡尔积A×B也是可数集。证明：设A={a1,a2,…,an｝B={b1,b2,…,bn,…}令Bi={(ai,b1),(ai,b2),…,(ai,bn),…}(i≤n),则A×B=,因为B为可数集，所以Bi为可数集。A×B为有限个可数集的并集。下面用归纳法证明有限个(m个)可数集的并集为可数集。设Cm={cm1,cm2,…,cmn,…}当m=2时，构造双射f:N→C1∪C2,N123456…n-1n…f(N)c11c21c12c22c13c23…c1(n/2)c2(n/2)…所以2个可数集的并集为可数集。假设m=k-1(k≥3)时结论成立，即k-1个可数集的并集为可数集，记为D。则m=k时，可以构造类似的双射g:N→D∪Ck,所以为可数集。因而有限个可数集的并集为可数集。所以A×B是可数集。