正定矩阵概念及例题

★正定二次型和正定矩阵的概念★判别二次型或矩阵正定的方法正定二次型下页关闭正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念，并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。二次型的标准形不是唯一的。标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩)。限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的。正定二次型和正定矩阵的概念定理11(惯性定理)设有实二次型,xAxfT它的秩是r，有两个实的可逆变换,zPxyCx与.,,,,,,)0(,)0(,212122222112222211个数相等中正数的中正数的个数与则及使rrirrirrkkkzzzkykykyk上页下页返回正数的个数称为正惯性指数，负数的个数称为负惯性指数对任何x≠0,都有f(x)0,则称f为负定二次型，并称对称阵A是负定的，记作A0。.)()(12niikyCyfxf定义9设有实二次型,xAxfT如果对于任何x≠0,都有f(x)0,（显然f(0)=0），则称f为正定二次型，并称对称阵A是正定的。记作A0；如果定理12实二次型xAxfT为正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正。证设可逆变换使yCx上页下页返回先证充分性.0)(,0,0).,,2,1(0121niiiiykxfxCxnik故则任给设推论对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。再证必要性：用反证法。假设有ks≤0,则,时当sey(单位坐标向量)时，,0)(sskeCf.0seC显然这与假设f正定矛盾，.0ik故上页下页返回定理13对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正。即;0,,0,011112221121111nnnnaaaaaaaaa对称阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正。即).,,2,1(,0)1(1111nraaaarrrrr这个定理称为霍尔维兹定理。上页下页返回注意：对于二次型，除了有正定和负定以外，还有半正定和半负定及不定二次型等概念。上页下页返回判别矩阵正定的方法根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法。一是求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。二是计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。上页下页返回例16判定对称矩阵300031013A正定性。解方法一,0311a因为,08311322211211aaaa,024300031013||A所以A是正定的。上页下页返回),4)(3)(2(300031013||EA方法二：A的特征多项式为..4,3,2321正定的是从而知的特征值为故AA上页下页返回由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。一是利用对称矩阵A的正定性。若二次型f的对称矩阵A是正定的，则f是正定二次型；若A是负定的，则f也是负定二次型。二是将f化为标准形。若其标准形的n个系数全为正，则f是正定的；若f的标准形的n个系数全为负，则f是负定的。由于将f化为标准形非常复杂，因此第二种方法一般不用。上页下页返回判别二次型正定的方法解f的矩阵是,402062225A,080,0266225,052221121111Aaaaaa所以f是负定的。例17判别二次型xzxyzyxf44465222的正定性。A的各阶主子式为：上页下页返回例18设二次型.,42244323121232221为正定二次型取何值时问fxxxxxxxxxf解f的矩阵是,4212411A,0)2)(1(4,0441,022221121111AaaaaaA的各阶主子式为：.,12二次型为正定的时解得上页下页返回Ex.11判别二次型2331212142xxxxxxf解f的矩阵是,102001211A,01102001211,010111,012221121111Aaaaaa所以f既不是正定的，也不是负定的，即不定二次型。的正定性。A的各阶主子式为：上页下页返回例19设C是满秩矩阵，实对称矩阵A是正定的，则CTAC是正定的。证因为A为正定，所以对任意,0x,0xAxfT有,yCx作,)(yACCyfTT则,0,01xCyCx得可逆及由,0)(yACCyxAxfTTT从而即CTAC是正定的。上页下页返回Ex.12证明：若实对称矩阵A=(aij)为正定矩阵，则aii0(i=1,2,…,n).证因为A为正定，所以对任意,0x,0xAxfT有),0,,1,,0(Tiex取).,,2,1(0niaxAxiiT则上页返回第五章小结本章通过向量的内积，从而给n维向量建立了度量的概念，结合方阵的特征值理论，给出了判定矩阵是否可以对角化的判定方法；通过对实对称矩阵所具有的特点，说明实对称矩阵不仅可以相似对角化，而且可以正交对角化；从而为二次型化标准型提供了一种重要方法：正交变换法。由二次型与实对称矩阵的一一对应关系，将二次型的讨论转化为矩阵的讨论，并讨论了正定二次型。上页下页返回第五章主要方法一)方阵的特征值与特征向量的求法|;|)().1(EAfA的特征多项式计算;,0)().2(的全部特征值即的全部根求出Af.,,0)().3(的全部特征向量于特征值的属线性组合就是则这个基础解系的非零系个基础解并求出这个方程组的一线性方程组的特征值逐个代入齐次把AxEAA上页下页返回二)用正交方阵将方阵化为对角阵的方法(1).求A的特征值；(2).求A的特征值对应的n个线性无关的特征向量；(3).将重特征值所对应的特征向量正交化，连同单特征值所对应的特征向量一起就得到两两正交的特征向量；(4).将(3)中n个特征向量单位化，得到n个两两正交的单位特征向量；(5).以这些特征向量作为列向量的矩阵就是所求的正交矩阵，且有.1APP上页下页返回三)化二次型为标准型的方法(1).正交变换法1.写出二次型对应的矩阵A.2.将A化为对角阵，求出正交阵P.3.写出标准型，且正交变换为X=PY.(2).配方法1.含有平方项，直接配方；2.不含有平方项,化成含有平方项,再配方;上页下页返回四判定矩阵与二次型为正定的方法1.定义法：2.用霍尔维兹定理：A的各阶主子式都为正，则A是正定的;3.用A的特征值：A的特征值全为正，则A是正定的;4.化A所对应的二次型为标准形,根据标准形中的正平方项个数判断;上页返回