二次函数图象的几何变换

Page1of4二次函数图象的几何变换知识点拨一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()yaxhk的形式，确定其顶点(,)hk，然后做出二次函数2yax的图像，将抛物线2yax平移，使其顶点平移到(,)hk.具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；2.关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；3.关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk；4.关于顶点对称2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxhk．5.关于点mn，对称2yaxhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222yaxhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．Page2of4一、二次函数图象的平移变换【例1】函数23(2)1yx的图象可由函数23yx的图象平移得到，那么平移的步骤是：（）A.右移两个单位，下移一个单位B.右移两个单位，上移一个单位C.左移两个单位，下移一个单位D.左移两个单位，上移一个单位【例2】函数22(1)1yx的图象可由函数22(2)3yx的图象平移得到，那么平移的步骤是（）A.右移三个单位，下移四个单位B.右移三个单位，上移四个单位C.左移三个单位，下移四个单位D.左移四个单位，上移四个单位【例3】二次函数2241yxx的图象如何移动就得到22yx的图象（）A.向左移动1个单位，向上移动3个单位.B.向右移动1个单位，向上移动3个单位.C.向左移动1个单位，向下移动3个单位.D.向右移动1个单位，向下移动3个单位.【例4】将函数2yxx的图象向右平移0aa个单位，得到函数232yxx的图象，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4【例5】把抛物线2yaxbxc的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235yxx，则abc________________．【例6】对于每个非零自然数n，抛物线221111nyxxnnnn与x轴交于nnAB、两点，以nnAB表示这两点间的距离，则112220092009ABABAB…的值是（）A．20092008B．20082009C．20102009D．20092010【例7】把抛物线2yx向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为A．213yxB．213yxC．213yxD．213yx【例8】将抛物线22yx向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A．221yxB．221yxC．221yxD．221yx【例9】将抛物线23yx向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（）A.232yxB.23yxC.23(2)yxD.232yx【例10】一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224yxx，则平移前抛物线的解析式为________________．【例11】已知二次函数5632xxy，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于x轴对称；（2）图象关于y轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于x轴的直线对称例题精讲Page3of4【例12】如图，平行四边形ABCD中，4AB，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线2yaxbxc经过x轴上的点A，B．⑴求点A，B，C的坐标．⑵若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．DCBAO【例13】抛物线254yaxxa与x轴相交于点AB、，且过点54C，．⑴求a的值和该抛物线顶点P的坐标．⑵请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．二、二次函数图象的对称变换【例14】函数2yx与2yx的图象关于______________对称，也可以认为2yx是函数2yx的图象绕__________旋转得到．【例15】已知二次函数221yxx，求：⑴关于x轴对称的二次函数解析式；⑵关于y轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．【例16】在平面直角坐标系中，先将抛物线22yxx关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为A．22yxxB．22yxxC．22yxxD．22yxx【例17】已知二次函数2441yaxaxa的图象是1c．⑴求1c关于10R，成中心对称的图象2c的函数解析式；⑵设曲线12cc、与y轴的交点分别为AB，，当18AB时，求a的值．【例18】已知抛物线265yxx，求⑴关于y轴对称的抛物线的表达式；⑵关于x轴对称的抛物线的表达式；⑶关于原点对称的抛物线的表达式．Page4of4【例19】设曲线C为函数20yaxbxca的图象，C关于y轴对称的曲线为1C，1C关于x轴对称的曲线为2C，则曲线2C的函数解析式为________________．【例20】对于任意两个二次函数：2211112222120yaxbxcyaxbxcaa，，当12aa时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有ABM，1010AB，，，，记过三点的二次函数抛物线为“C”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．图3图2图1yxOABMyxOABMMNBAOxy⑴若已知01M，，ABMABN≌（图1），请通过计算判断ABMC与ABNC是否为全等抛物线；⑵在图2中，以ABM、、三点为顶点，画出平行四边形．①若已知0Mn，，求抛物线ABMC的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与ABMC全等的抛物线解析式．②若已知Mmn，，当mn、满足什么条件时，存在抛物线ABMC？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与ABMC全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C”；若不存在，请说明理由．【例21】已知：抛物线2:(2)5fyx．试写出把抛物线f向左平行移动2个单位后，所得的新抛物线1f的解析式；以及f关于x轴对称的曲线2f的解析式．画出1f和2f的略图，并求：⑴x的值什么范围，抛物线1f和2f都是下降的；⑵x的值在什么范围，曲线1f和2f围成一个封闭图形；⑶求在1f和2f围成封闭图形上，平行于y轴的线段的长度的最大值．Oyxg(x)=-x2+5h(x)=(x-2)2-5