二次函数与一元二次方程知识点及经典例题

二次函数y=ax2＋bx＋c与ax2＋bx＋c=0（a≠0）的关系1、一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根是二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标，反之y=ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根；2、一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）根情况的判别即二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点个数情况：①判别式②直接看方程③平移例1：抛物线y=ax2＋bx＋c图像如下，则①ax2＋bx＋c=0的根有（）个②ax2＋bx＋c+3＝0的根有（）个③ax2＋bx＋c－4＝0的根有（）个x3a例2：若关于x的不等式组无解，则二次函数y=（a-2）x2-x＋41与Xxa515轴交点有（）个；例3：一元二次方程22717)83(2xy与X轴的交点个数为（）个；例4：二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：（1）写出方程ax2＋bx＋c=0的两个根；（2）写出不等式ax2＋bx＋c0的解集；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范值；（4）若方程ax2＋bx＋c=k有两个不相等的实数根，求k的取什范围。3、韦达定理在二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）中的应用（acabxxxx2121，）①已知其中一个交点，求另一个交点：例5：若抛物线mxyx22与X轴的一个交点是（－2，0）则另一个交点是（）；②求两交点A,B线段的长度xxxxAB212421)(例6：若抛物线32axyx与X轴的交点为A，B，且AB的长度为10，求a③利用韦达定理求面积：例7：抛物线mxyx22与X轴的一个交点是A(3，0），另一个交点是B，且51322与y轴交于点C，（1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x0，y0），使ssABCABD，求点D的坐标。例5：已知如图，二次函数2)2(22mxmyx与x轴于A,B两点，若OA:OB=3:1，求m例6：已知二次函数mxmyx)1(2的图像交x轴于A(x1，0)、B（x2，0）两点，交y轴正半轴于点C，且102122xx。（1）求此二次函数的解析式；（）（2）是否存在过点D(0，25)的直线与抛物线交于点M、N,与x轴交于E点，使得M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由。4、抛物线ax2＋bx＋c=0与x轴交点及对称轴之间的关系；设抛物线与x轴的交点为A(x1，0)和B（x2，0）则对称轴为直线221xxx，抛物线任纵坐标相等的两点关于对称轴对称，即若有），（，，kNkxxM21)(，则则对称轴为直线221xxx。例10：已知二次函数mxyx22的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程022mxx的解是（）5.若二次函数y=(a-2)x^2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴共有两个交点，则a可取()31ABOxy6.已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（-1，2）和点N（1，-2），交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：①b=-2；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上；④若a=1，则OA•OB=OC2．以上说法正确的有（）A．①②③④B．②③④C．①②④D．①②③解析：解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（-1，2）和点N（1，-2），∴2＝a−b+c−2＝a+b+c解得b=-2．故该选项正确．②方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c，a＞0∴该二次函数图象开口向上∵点M（-1，2）和点N（1，-2），∴直线MN的解析式为y=-2x，根据抛物线的图象的特点必然是当-1＜x＜1时，二次函数图象在y=-2x的下方，∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；方法二：由①可得b=-2，a+c=0，即c=-a＜0，所以二次函数图象与y轴交于负半轴．故该选项正确．③根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上．故该选项错误．④当a=1时，c=-1，∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-1当y=0时，0=x2-2x+c，利用根与系数的关系可得x1•x2=c，即OA•OB=|c|，当x=0时，y=c，即OC=|c|=1=OC2，∴若a=1，则OA•OB=OC2，故该选项正确．总上所述①②④正确．故选C．7.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝m/x(m＜0)交于A（-2，n）及另一点B，与两坐标轴分别交于点C、D．过A作AH⊥x轴于H，若OC=2OH，且△ACH的面积为9．（1）求一次函数与反比例函数的解析式及另一交点B的坐标；（2）根据函数图象，直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围．解析：（1）∵A（-2，n），∴OH=2，∴OC=2OH=4，∴CH=2+4=6，∴S△ACH＝1/2CH•|yA|＝1/2×6•n＝9n=3，（2分）∴A（-2，3），C（4，0），∵一次函数图象过点A（-2，3），C（4，0），∴∴y1＝−1/2x+2．（4分）∵3＝m/-2，∴m=-6∴y2＝−6/x，∴B（6，-1）；（8分）（2）x＜-2或0＜x＜6（10分）8.已知二次函数y=x^2+ax+a-2(1)说明y=ax^2+ax+a-2与x轴有两个不同交点（2）求出交点距离（用a的表达式）解析：(1)因为△＝a＊2-4(a-2)=(a-2)＊2+4＞0，（即y=0时，方程x^2+ax+a-2＝0有两个不同的实数根），故y=x^2+ax+a-2与x轴有两个不同交点。（2）令交点坐标为（x1,0)、(x2,0),且：x2＞x1，故：交点距离＝x2-x1又x1、x2可以看作是方程x^2+ax+a-2＝0的两个不同实数根，故：x1+x2=-ax1•x2=a-2故：（x2-x1）^2＝（x1+x2）^2－4x1•x2＝a＊2-4(a-2)=a＊2-4a+8故：交点距离＝√(a＊2-4a+8)