一元二次方程知识点总结

第二章一元二次方程本章中考动向：会用因式分解法、公式法、配方法解简单系数的一元二次方程；了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系并能进行简单运用；能根据具体问题中的数量关系列方程，能根据具体问题的实际意义检验方程的解的合理性。一.知识点：1.一元二次方程的概念只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成20axbxc（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。注：（①整式方程，含有一个未知数；②整理后未知数的最高次数是2）2.一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，化成：20axbxc（a≠0）。这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中2ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。关键：（1）a≠0；（2）系数带上符号3.一元二次方程的解（根）能使一元二次方程两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根。应用：若是方程的解（根），则代入方程，可使其成立。通常结合恒等变形来求一些式子的值。例：已知a是方程2310xx的一个根，试求3222511aaaa的值。4.配方法解一元二次方程：将一元二次方程转化成2xmn（n≥0）的形式。通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根。2xmn（n≥0）。xnm关键：将二次项系数化为1的方程的两边同时加上一次项系数一半的平方注：在求解一些式子的最值问题时，我们是将式子配成完全平方，再利用完全平方式子的非负性来解决。例如：当x取何值时，代数式2267xx的值最小？求出这个最小值？5.公式法解一元二次方程对于一元二次方程20axbxc（a≠0），当24bac≥0时，利用配方法可算出它的根是242bbacxa，这个式子成为一元二次方程的求根公式。关键步骤：（1）将方程化为一般形式，确定公式中a，b，c的值；（2）先求出24bac的值，再考虑是否用公式。6.一元二次方程根的判别式（Δ=24bac）（1）Δ＞0时，方程20axbxc（a≠0）有两个不等的实数根（2）Δ=0时，方程20axbxc（a≠0）有两个相等的实数根（3）Δ＜0时，方程20axbxc（a≠0）没有实数根7．因式分解法解一元二次方程（ab=0，则a=0或b=0）步骤：（1）整理方程，使其右边为0（这很重要）；（2）将方程左边分解为两个一次式的乘积；（3）令每个一次式分别为0，形成两个一元一次方程，他们的解就是一元二次方程的解。常用的因式分解法：（1）提公因式；（2）公式法；（3）十字相乘：2()()()xabxabxaxb对于第三种方法要牢记两数之和为一次项系数，两数之积为常数项，此法在应用题中比较方便。技巧：右化零，左分解，两因式，各求解8.一元二次方程的根与系数的关系（1）12bxxa，12cxxa（2）222121212()2xxxxxx（3）2212121212()()4xxxxxxxx9．一元二次方程解应用题（1）列方程解应用题的关键在于找出题目中的等量关系，有些等量关系比较明显，有些隐含在题意当中，需要分析题意，挖掘出来。（2）在一元二次方程解应用题中，还有一个关键的地方在于舍根。检验方程的根，把不符合实际意义和不符合题意的根舍去。（3）常见的等量关系常见题型等量关系几何问题各种图形的周长、面积、体积公式等销售问题利润=售价-进价利润率=利润进价=（售价-进价）进价售价=进价（1+利润率）总利润=总售价-总成本=单个利润总销量增长率问题2(1%)axb（a为起始量，b为终止量，x%为增长率）利润问题本息和=本金+利息利息=本金利率存期三.重难点分析1.一元二次方程和一元二次方程的根的问题（1）一元二次方程要抓住①未知数x的最高次数2；②二次项系数不为零两个关键点（2）如果有X0是方程20axbxc的解，则有式子2000axbxc成立。当求含有X0代数式的值时，找出该代数式与200axbxc相类似的结构进行整体代入求值。2.解一元二次方程的问题（1）根据方程的形式，用适当的方法求解一元二次方程（公式法和配方法适用于所有一元二次方程，因式分解则适用于部分方程）（2）利用判别式（Δ=24bac），我们可以确定方程根的情况，若有根则Δ≥0。但是要注意一些二次项前面有未知数的方程，若明确说是一元二次方程，则要考虑二次项不为零；若只是说是方程，则要更具二次项系数是否为零进行分类讨论。（3）在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法。对于系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系数是偶数，可选用配方法。（4）知道一元二次方程的两个根，就可以知道用因式分解法求解的过程，()()0xaxb→1xa，2xb（注意：和分解出来的数互为相反数）3.根与系数的关系问题（1）已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求出方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根，也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值。如：已知关于x的方程226250xxpp的一个根是2，求方程的另一个根和p的值？（2）已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，先根据根与系数的关系用待定字母表示两根之和和两根之积，然后将已知的两根关系进行变形，再将两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数的方程，求出待定字母的值，注意检验根的合理性。（3）运用根与系数的关系解决问题的前提条件是方程有实数根，即Δ≥0，在利用根与系数的关系求方程待定字母的值时，必须代到根的判别式中检验。如：已知1x，2x是关于x的一元二次方程260xxk的两个实根，且221212115xxxx。（1）求k的值；（2）求22128xx的值。4.一元二次方程解应用题（1）列方程时，从最基本的等量关系入手，逐步把所有的已知条件表示出来。（2）解一元二次方程时，一般情况下都是整数解，因此是可以进行因式分解的，但是前提是方程化为一般形式的过程中不要出错。（3）一般情况下一元二次方程的解有两个，对于实际问题，这就涉及到一个舍根的问题，根据常识（如增长率不为负数，三角形的三边关系）来舍根，或者根据题目中的要求来舍根。