北京交通大学2010-2013第一学期概率论与数理统计期中试题答案

北京交通大学2012-2013第一学期概率论与数理统计期中试题答案1.（6分）设1.0)(AP，9.0)|(ABP，2.0)|(ABP，求)|(BAP.解：()0.09PAB，………………2分()()()(|)0.2()1()PBAPBPABPBAPAPA，()0.27PB………………2分)|(BAP=31.………………2分2.(12分)(12分)设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机的取一个地区的报名表，从中先后抽取两份。(1)求先抽到的一份是女生表的概率；(2)已知后抽到的一份表是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。解：记iH={抽到第i地区考生的报名表},i=1,2,3.jA={第j次抽到的报名表是男生的},j=1,2.………………2分………………2分又因为;107)();3,2,1(31)(11HAPiHPi则有.2520)(;158)(3121HAPHAP由全概率公式知)1(3111)()()(iiiHAPHPAPp25515710331.9029,)()()()2(22121APAAPAAPq由全概率公式得312121)()()(iiiHAAPHPAAP,)(313121iiHAAP,30797103)(121HAAP………………2分………………2分………………2分………………2分3、(10分)甲、乙、丙三人独立的向同一飞行目标各射击一次，击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果只有一人击中，则目标被击落的概率为0.2；如果有两人击中，则目标被击落的概率为0.6；如果三人都击中，则目标一定被击落。求目标被击落的概率。解：设A表示“目标被击落”，321,,BBB依次表示“甲、乙、丙击中目标”，iC表示“有i个人击中目标”，i=1，2，3。则有题设有：7.0)(,5.0)(,4.0)(321BPBPBP3213213211BBBBBBBBBC)()()()(3213213211BBBPBBBPBBBPCP)()()()()()()()()(321321321BPBPBPBPBPBPBPBPBP36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0……2分3213213212BBBBBBBBBC同理41.0)(2CP……2分,308148157)(221HAAP.3052420255)(321HAAP,9230530830731)(21AAP所以)()()(2312iiiHAPHPAP而312)(31iiHAP,9061252015810731)()(221APAAPq所以.61209061923213BBBC14.0)(3CP……2分由全概率公式得：30)|()()(iiiCAPCPAP……2分458.0114.06.041.02.036.0………………2分解……2分知}2{21XP322ba……3分……1分:)(的性质利用分布函数xF),0()(}{iiixFxFxXP,1)(F)32()(aba.1ba且.65,61ba由此解得的分布律。并求试确定常数且的分布函数为分）设离散型随机变量XbaXPxbaxaxaxxFX,,,21}2{.2,,21,32,11,,1,0)(10.(4……4分5、(4分)已知盒子里有10张卡片，上面分别标有号码（1号～10号），从中抽取5次，每次随机地取一张，观察其上的号码后放回．设X表示观察到奇数号码的次数，则随机变量X服从什么分布（指出其参数）.答：(4分)b(5,0.5).仅说明分布，没有写出参数2分6、（8分）随机变量X与Y相互独立,且均服从区间0,3上的均匀分布,试求P{min(X,Y)1}和P{max(X,Y)1}.(8分)5/9,8/9.解：P{X1}=3113dx=23……2分P{min(X,Y)1}=1-P{min(X,Y)1}=1-P{X1,Y1}=1-P{X1}P{Y1}=1-2233=5/9……3分X211213161P.2,1,21,21,11,61,1,0)(xxxxxF因此有P{max(X,Y)1}=1-P{max(X,Y)1}=1-P{X1,Y1}=1-P{X1}P{Y1}=1-1133=8/9……3分7、(14分)设随机变量X服从标准正态分布(已知9772.0)2(,8413.0)1()。(1)写出X的概率密度)(xfX；(2)随机变量2XY，求Y的概率密度)(yfY；(3)随机变量其它或,32112,211,1XXXZ,求Z的分布律.解：(1)2221)(xXexf,x……2分(2)).(),(yFxFYXYX的分布函数分别为和设}{}{)(2yXPyYPyFY……1分.0)(0yFyY时，当)()(}{)(0yFyFyXyPyFyXXY时，当)()(yFyfYY……2分其它其它,00,21,00)],()([21)(2yeyyyfyfyyfyXXY……3分(3)(1)0.8413,(2)0.9772{1}{11}(1)(1)2(1)120.841310.68262{2}{21}{12}2[(2)(1)]2(0.97720.8413)0.27182{3}1{1}{2}10.68260.27180.0456PZPXPZPXPXPZPZPZ分分|123|0.68260.27180.0456ZP……2分8、(12分)设二维随机变量(X,Y)在D={(x,y)|1x3,1yx}上服从均匀分布。(1)求(X,Y)的联合密度f(x,y)；(2)判断X与Y是否独立?给出理由；(3)求Z=X+Y密度函数.解：(1)D的面积m(D)=2,所以,(X,Y)的联合密度f(x,y)=.0,),(21其它Dyx……………………+4(2)设X与Y的边际密度函数分别为fX(x)和fY(y),fX(x)=dyyxf),(=dyx121=)1(21x,(13x).fY(y)=dxyxf),(=dxy321=)3(21y,(13y).……3分因为f(x,y)fX(x)fY(y),所以X与Y不独立。………1分（3）,ZXfzfxzxdx……1分非零区域131xzxxxzxx21,31当24z时，1212zzZfzdx142z当46z时，3212zZfzdx342z其它，0Zfz1,24423,46420,Zzzzfzz其它……………3分9、（10分）某箱装100件产品，其中一、二和三等品分别为80，10和10件.现从中随机取一件，定义三个随机变量123,,XXX如下：其它等品抽到,0,1iXi1,2,3i试求：（1）随机变量1X与2X的联合分布律；（2）随机变量2132XX的分布律。解：(1)∵1~1,0.8XB，2~1,0.1XB……2分则12,XX的联合分布律为如12801,00.8100PXX……3分（2）2132XX的分布律为……5分10、解……3分2X1X0100.10.110.802132XX0-32P0.10.10.8得由,1dd),()1(yxyxfxcxyyyded100,)3(2de202ccyycy.1cyyxfxfXd),()()2(.0,0,0,exxxx.0,0,0,e212yyyy.,0,0,e),(),(14(其他的联合概率密度为分）设随机变量yxcxyxfYXy}.21{},21{)4();(),()3(??)2(;)1(YXPYXPxyfyxfYXcXYYX求求为什么是否独立与求常数……3分……3分……3分……2分xyxfyfYd),()(,)()(),(,0yfxfyxfyxYX上由于在(,)(3)0,()()XYYfxyyfxyfy.,0,0,22其他yxyx(,)0,()()YXXfxyxfyxfx.,0,0,e其他yxyx}21{)4(YXP}2{}2,1{YPYXP212d)(dd),(yyfyxyxfY202102de21dedyyyxxyxy.e51e21e21221又由条件密度的性质知,d)2(}21{1xxfYXPYX.,0,20,2)2(其他而xxxfYXxxYXPd2}21{10.41北京交通大学2011-2012学年第二学期《概率论与数理统计（B）》期中考试试卷（A）学院_____________专业___________________班级____________学号_______________姓名_____________题号一二三四五六七八九十十一十二总分得分阅卷人请注意：本卷共十三大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一（满分8分）已知,.)(30AP,.)(40BP..)|(50BAP求),(ABP),(BAP),|(ABP).(ABP解由概率乘法公式....)|()()(205040BAPBPABP----2分由概率加法公式.....)()()()(50204030ABPBPAPBAP----2分...)()()|(323020APABPABP----2分....)()()(102030ABPBPABP----2分二（满分10分）高射炮向某飞机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独立)，设每发炮弹击中飞机的概率均为0.3，又知若飞机中一弹，其坠落的概率为0.2；若飞机中两弹，其坠落的概率为0.6；若中三弹则必然坠落.(1)求飞机被击落的概率；(2)若飞机被击落，求它中两弹的概率。解令..,,飞机被击落令，弹飞机中BiiAi321因每弹击中与否相互独立,故有...)(iiiiCAP337030则...)(,...)(...)(027030189070303441070303332221APAPAP，----2分由题意得.)|(,.)|(.)|(16020321ABPABPABP，（1）由全概率公式)|()()|()()|()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP0270601890204410.......22860-------4分（2）由贝叶斯公式....)()|()()|(50127632286011340222BPABPAPBAP-------4分三（满分6分）甲箱中有9个黄球和1个白球，乙箱中有10个黄球.每次从甲、乙两箱中随机各取1球交换放入另一箱中，这样做了3次，求白球出现在甲箱中的概率.解设.,,321iiAi，甲箱中次交换以后白球出现在则.乙箱中次交换以后白球出现在iAi-----1分故)|()()|()()(1211212AAPAPAAPAPAP=,.820101101109109-----2分)|()()|()()(2322