土木工程测量 第5章 测量误差的基本知识

第5章测量误差的基本知识内容提示：本章主要介绍了测量误差的概念、来源、分类与处理方法，精度的概念及评定标准，误差传播定律，等精度与非等精度直接观测值的最可靠值及其中误差。其重点内容包括误差传播定律、观测值中误差计算、直接观测值的最可靠值及其中误差。其难点为误差传播定律及其应用。5.1测量误差与精度5.1.1测量误差的概念要准确认识事物，必须对事物进行定量分析；要进行定量分析必须要先对认识对象进行观测并取得数据。在取得观测数据的过程中，由于受到多种因素的影响，在对同一对象进行多次观测时，每次的观测结果总是不完全一致或与预期目标(真值)不一致。之所以产生这种现象，是因为在观测结果中始终存在测量误差的缘故。这种观测量之间的差值或观测值与真值之间的差值，称为测量误差(亦称观测误差)。用l代表观测值，X代表真值，则有Δ=l－X(5-1)式中Δ就是测量误差，通常称为真误差，简称误差。一般说来，观测值中都含有误差。例如，同一人用同一台经纬仪对某一固定角度重复观测多次，各测回的观测值往往互不相等；同一组人，用同样的测距工具，对同一段距离重复测量多次，各次的测距值也往往互不相等。又如，平面三角形内角和为180，即为观测对象的真值，但三个内角的观测值之和往往不等于180；闭合水准测量线路各测段高差之和的真值应为0，但经过大量水准测量的实践证明，各测段高差的观测值之和一般也不等于0。这些现象在测量实践中普遍存在，究其原因，是由于观测值中不可避免地含有观测误差的缘故。5.1.2测量误差的来源为什么测量误差不可避免？是因为测量活动离不开人、测量仪器和测量时所处的外界环境。不同的人，操作习惯不同，会对测量结果产生影响。另外，每个人的感觉器官不可能十分完善和准确，都会产生一些分辨误差，如人眼对长度的最小分辨率是0.1mm，对角度的最小分辨率是60。测量仪器的构造也不可能十分完善，观测时测量仪器各轴系之间还存在不严格平行或垂直的问题，从而导致测量仪器误差。测量时所处的外界环境(如风、温度、土质等)在不断变化之中，风影响测量仪器和观测目标的稳定，温度变化影响大气介质的变化，从而影响测量视线在大气中的传播线路等。这些影响因素，就是测量误差的三第5章测量误差的基本知识·119··119·大来源。通常把观测者、仪器设备、环境等三方面综合起来，称为观测条件。观测条件相同的各次观测，称为等精度观测，获得的观测值称为等精度观测值；观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测，相应的观测值称为非等精度观测值。5.1.3研究测量误差的目的和意义一般说来，人们在测量中总希望每次观测所出现的测量误差越小越好，甚至趋近于0。但要做到这一点，就要用极其精密的测量仪器，采用十分严密的观测方法，付出高昂的代价。然而，在生产实践中，根据不同的测量目的和要求，是允许在测量结果中含有一定程度的测量误差的。因此，实际测量工作并不是简单地使测量误差越小越好，而是根据实际需要，将测量误差限制适当的范围内。研究测量误差是为了认识测量误差的基本特性及其对观测结果的影响规律，建立处理测量误差的数学模型，确定未知量的最可靠值及其精度，进而判定观测结果是否可靠或合格。在认识了测量误差的基本特性和影响规律之后，能指导测量员在观测过程中如何制定观测方案、采取措施尽力减少测量误差对测量结果的影响。5.1.4测量误差的分类及处理方法根据测量误差的性质，测量误差可分为粗差、系统误差和偶然误差三大类，即Δ=Δ1+Δ2+Δ3(5-2)式中，Δ1为粗差；Δ2为系统误差；Δ3为偶然误差。1.粗差粗差是一种大级量的观测误差，例如超限的观测值中往往含有粗差。粗差也包括测量过程中各种失误引起的误差。粗差产生的原因较多，有测量员疏忽大意、失职而引起，如读数错误、记录错误、照准目标错误等；有测量仪器自身或受外界干扰发生故障而引起的；还有是容许误差取值过小造成的。粗差对测量结果的影响巨大，必须引起足够的重视，在观测过程中要尽力避免。发现粗差的有效办法是：严格遵守国家测量规范或规程，进行必要的重复观测，通过多余观测条件，采用必要而严密的检核、验算等措施。不同的人、不同的仪器、不同的测量方法和不同的观测时间是发现粗差的最好方式。一旦发现粗差，该观测值必须舍弃并重测。测量员要养成良好的测量习惯，如记录员站在水准仪的右侧，不仅要记录数据，还要回报数据、时刻提醒观测员管水准器没有整平。尽管测量员已十分认真、谨慎，粗差有时仍然会发生。因此，如何在观测数据中发现并剔除粗差，或在数据处理过程中削弱粗差对测量结果的影响，是测绘界十分关注的问题。2.系统误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，其误差符号或大小均相同或按一定规律变化，这种误差称为系统误差。如钢尺尺长误差、仪器残余误差对测量结果的影响。系统误差具有积累性，对测量结果的影响很大，因此，必须足够地重视，处理系统误差的办法有以下几项。土木工程测量·120··120·(1)用计算的方法加以改正。如钢尺的温度改正、倾斜改正等。(2)用合适的观测方法加以削弱。如在水准测量中，测站上采用“后—前—前—后”的观测程序可以削弱仪器下沉对测量结果的影响；在水平角测量时，采用盘左、盘右观测值取平均值的方法可以削弱视准轴误差的影响。(3)将系统误差限制在一定的允许范围之内。有些系统误差既不便于计算改正，又不能采用一定的观测方法加以消除，如视准轴误差对水平角的影响、水准尺倾斜对读数的影响。对于这类误差，则必须严格遵守操作规程，对仪器进行精确检校，使其影响减少到允许范围之内。3.偶然误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，其误差符号或大小都不一致，表面上看不出任何规律性，这种误差称为偶然误差。偶然误差也有很大的累积性，而且在观测过程中无法避免或削弱。粗差可以被发现并被剔除，系统误差可以被预知或采取一定措施进行削弱，而偶然误差是不可避免的，因此，讨论测量误差的主要内容和任务就是研究在带有偶然误差的一系列观测值中，如何确定未知量的最可靠值及其精度。从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律，但对大量偶然误差进行统计分析，就发现了规律，并且误差个数越多，规律越明显。例如，某一测区在相同观测条件下，对测区内所有三角形的内角进行了观测，由于观测结果中存在偶然误差，因而，三角形各内角的观测值之和l不一定等于其真值180。由式(5-1)计算每个三角形内角观测值之和的真误差，将真误差取区间dΔ=3，并按绝对值大小进行排列，分别统计在各区间的正负误差的个数，其数据列于表5-1中。以表5-1中误差范围为横轴，以误差个数为纵轴绘制成直方图如图5.1所示。表5-1偶然误差统计表误差所在区间负误差个数正误差个数误差总数0～32325483～61314276～989179～1232512～1511215～1810118以上000总计4852100由表5-1和图5.1可以看出：小误差出现的个数比大误差出现的个数多；绝对值相等的正、负误差个数几乎相同；最大误差不超过18。通过大量实验统计，结果表明，当观测次数较多时，偶然误差具有如下统计特性。(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，即有界性。(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大，即偶然性或随机性。(3)绝对值相等的正、负误差出现的可能性相等，即对称性。第5章测量误差的基本知识·121··121·(4)同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋近于0，即0][lim=Δ∞→nn(5-3)式中，［Δ］=Δ1+Δ2+…+Δn，n为观测次数。在测量学中以“[·]”表示取括号中变量的代数和，即[Δ]=∑Δ。偶然误差的第(4)个特性由第(3)个特性导出，说明偶然性误差具有抵偿性。为了简单而形象地表示偶然误差的上述特性，今以偶然误差的大小为横坐标，以其相应出现的个数为纵坐标，画出偶然误差大小与其出现个数的关系曲线，如图5.2所示。这种曲线又称为误差分布曲线。误差分布曲线的峰愈高坡愈陡，表明绝对值小的误差出现较多，即误差分布比较密集，反映观测成果质量好；曲线的峰愈低坡愈缓，表明绝对值大的误差出现较少，即误差分布比较离散，反映观测成果质量较差。偶然误差特性图中的曲线符合统计学中的正态分布曲线，标准误差的大小反映了观测精度的低高，即标准误差越大，精度越低；反之，标准误差越小，精度越高。个数－Δ+Δ图5.1偶然误差统计直方图图5.2偶然误差特性图5.1.5精度的概念及评定精度的标准精度是指对某个量进行多次同精度观测中，其偶然误差分布的离散程度。观测条件相同的各次观测，称为等精度观测，但每次的观测结果之间又总是不完全一致。测量工作中，观测对象的真值只有一个，而观测值有无数个，其真误差也有相同的个数，有正有负，有大有小。以真误差的平均值作为衡量精度的标准非常不实用，因为真误差的平均值都趋近于0。以真误差绝对值的大小来衡量精度也不能反映这一组观测值的整体优劣。因而，测量中引用了数理统计中均方差的概念，并以此作为衡量精度的标准。具体到测量工作中，以中误差、相对中误差和容许误差作为衡量精度的标准。中误差越大，精度越低；反之，中误差越小，精度越高。1.中误差设在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，其观测值为l1，l2，…，ln，相应的真误差为Δ1，Δ2，…，Δn，则中误差为土木工程测量·122··122·nm][ΔΔ±=(5-4)式中，2212[]ΔΔ=Δ+Δ+…2n+Δ。【例5.1】设有甲、乙两个小组，对某三角形的内角和观测了10次，分别求得其真误差为甲组+4，+3，+5，－2，－4，－1，+2，+3，－6，－2乙组+3，+5，－5，－2，－7，－1，+8，+3，－6，－1试求这两组观测值的中误差。【解】222222222243524123623.5''10m+++++++++=±=±甲222222222235527183614.7''10m+++++++++=±=±乙比较乙甲和mm可知，甲组的观测精度比乙组高。2．相对中误差在某些情况下，单用中误差还不能准确地反映出观测精度的优劣。例如丈量了长度为100m和200m的两段距离，其中误差均为±0.01m，显然不能认为这两段距离的精度相同。这时为了更客观地反映实际情况，还必须引入相对中误差的概念，以相对中误差K来作为衡量精度的标准。相对中误差是中误差的绝对值与相应观测值之比，并用分子为1的分数来表示，即1/mKDDm==(5-5)在上例中，10.01/1001/10000K==，20.01/2001/20000K==。显然，后者的精度比前者精度高；当K中分母越大，表示相对中误差精度越高，反之越低。值得注意的是，观测时间、角度和高差时，不能用相对中误差来衡量观测值的精度，这是因为观测误差与观测值的大小无关。3.容许误差由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度。根据误差理论和大量的实践证明，在一系列等精度的观测中，绝对值大于2倍中误差的偶然误差出现的可能性约为5%；绝对值大于3倍中误差的偶然误差出现的可能性约为0.3%。因此，在观测次数不多的情况下，可以认为大于3倍中误差的偶然误差是不可能出现的。故通常以3倍中误差作为偶然误差的极限误差，即Δ极=3m(5-6)在实际工作中，测量规范要求观测值中，不容许存在较大的误差，常以2倍中误差作为偶然误差的容许误差，即Δ容=2m(5-7)在观测数据检查和处理工作中，常用容许误差作为精度的衡量标准。当观测值误差大第5章测量误差的基本知识·123··123·于容许误差时，即可认为观测值中包含有粗差，应给予舍去不用或重测。5.2误差传播定律5.2.1误差传播的概念与误差传播定律当对某一未知量进行了多次观测后，就可以根据观测值计算出观测值的中误差，作为衡量观测结果的精度标准。但是在实际工作中，有些未知量往往不是直接观测得到的，而是观测其他未知量间接求得的。例如，水准测量中，在测站上测得后视、前视读数分别为a、b，则高差h=a－b。这里高差h是直接观测量a、b的函数。显然，当a、b存在误差时，h也受其影响而产生误差。