数乘向量

向量数乘运算及几何意义=a3ABCDa++aaaa(-)(-)(-)a3-ABCDaaa++＝思考1：如图，设点M为△ABC的重心，D为BC的中点，那么向量与，与分别有什么关系？BDuuurBCuuurADuuurDMuuuurABCDM对于任意一个三角形，三角形的三条高的交点叫做垂心，三角形的三条中线的交点所为重心，三角形的三条角平分线的交点叫内心，三角形的三条中垂线的交点叫外心思考1：如图，设点M为△ABC的重心，D为BC的中点，那么向量与，与分别有什么关系？BDuuurBCuuurADuuurDMuuuurABCDM12BDBC=uuuruuur3ADDM=-uuuruuuur一、向量的数乘运算的定义：,aa实数与向量的积是一个确定的向量，记为1;aa其方向和长度规定如下：（）20,0,00.aaaaa（）当与的方向相同；当的方向与的方向相反；当，注意：比较两个向量时,主要看它们的长度和方向(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a为非零向量)，并进行比较。(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。a)2(3a)2(3aa6=abbaba22a2b2baba22)(2数乘向量的几何意义就是把向量沿的方向或反方向放大或缩短.若,当沿的方向放大了倍.当沿的方向缩短了倍.当,沿的反方向放大了倍.当沿的反方向缩短了倍.由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题.0a时，1时，〈〈10时1a时，〈〈01aaaaaa三、向量的数乘运算满足如下运算律：)();()1(2)(3);().aaaaaabab，是实数，）（（aaabab特别地:（）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算例1：计算下列各式a4)3)(1(ababa)(2)(3)2(a12b5)23()32)(3(cbacbacba25))(())()(4(2121bcttbcttctbt2122思考2：若存在实数λ，使，则A、B、C三点的位置关系如何？ABBCl=uuuruuur思考3：如图，若P为AB的中点，则与、的关系如何？OPuuurOAuuurOBuuurABPO、、共线ABBCABCl=?uuuruuur1()2OPOAOB=+uuuruuuruuur例2.如图：已知，，试判断与是否共线．ABAD3BCDE3ACAEBCAB33BCAB3AC3∴与共线．AEACDEADAE解：ADECB向量与非零向量共线有且仅有一个实数，使得．baba三、定理例3：如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M、N、C三点共线。31ADBCMN提示：设AB=aBC=b则MN=…=a+b6131MC=…=a+b21基础知识反馈aaC.的方向相反与aaA.的方向相同与aa2B.(2).设是非零向量,是非零实数,下列结论正确的是().aaD.a(1).下列四个说法正确的个数有().B.2个A.1个C.3个D.4个;bmambambam）（，恒有、和向量对于实数;),(baRmbmam则有若;,0),(nmaRnmanam则有、若;)(anamanmanm，恒有和向量、对于实数BC例4:若其中,是已知向量,求，分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得aanm23bnm3bam112113解：记①，②bnm3933②得③,113111ban①-③得abybax5152,5152anm23bnm3bmn例5如图所示，已知说明向量与的关系．,3'OAOA,3''ABBAOB'OB解：因为''''BAOAOBABOA33)(3ABOAOB3所以，与共线同方向，长度是的3倍OB'OBOBoAB'B'A问题:如果把3都换成k(不为0),结论会有什么变化?反馈演练：1.在中,设D为边ＢＣ的中点,求证:ABC)(21)1(ACABADADCABCAB223)2(ＡＢＣＤ解：因为BDABADBCAB21)(21ABACAB)(21BCAB（２）CABCABAB22原式左边CAACAB2右边ADACAB2所以，所证等式成立ＡＢＣＤE过点B作BE,使ACBE连接CE则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点.由向量加法平行四边形法则有ADAEACAB2)(21ACABAD解2:例6:如图，在中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使BD=OB.DC与OA交于E,设请用.OAB31，，bOBaOADCOCba，表示向量，ECODBA分析:解题的关键是建立的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。baODOC，与,解：因为A是BC的中点，所以.22),(21baOBOAOCOCOBOA即babbaOBOCODOCDC35232232ab,,31bACaABBCBDBCABCD，设边上一点，且中是等于则AD（C）)(31.baA)(31.abB)2(31.baC)2(31.abDNCANbADaAB3,,分析:由所以在平行四边形ABCD中,,M为BC的中点,则等于＿＿＿＿＿＿MN,21,334,3baAMbaACANNCAN）（得bababaMN4141)21()(43ba4141(1)(2)ABCD二、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD课堂小结：一、①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线