函数的零点问题教案

1二轮复习专项知识：函数的零点问题开封高中：张文伟【高考地位】函数零点是新课标教材的新增内容之一,纵观近几年全国各地的高考试题,经常出现一些与零点有关的问题,它可以以选择题、填空题的形式出现，也可以在解答题中与其它知识交汇后闪亮登场，可以说”零点”成为了高考新的热点、亮点和生长点.【教学目标】1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间.2.结合几类基本初等函数的图象特征，借助于求导寻找函数图像的变换趋势，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围.【教学重点】理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识.【教学难点】根据函数零点所在区间求参数的取值范围【教学方法】发现、合作、讲解、演练相结合.【教学软件】几何画板【教学过程】基础知识回顾1．函数零点概念对函数()fx，把使()0fx的实数x叫做函数()fx的零点．2.零点存在性定理：如果函数()fx在区间,ab上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0fafb，那么，函数()fx在区间,ab内有零点.即存在c，使得()0fc，这个c也就是方程()0fx的根.23、零点问题方程、函数、图像之间的关系一、直接求函数的零点求根定零点例1：求函数的零点：2322log()22xxfx解：由题意可知2322,xx解得0x3或所以函数()fx的零点为0或3.练习：已知函数2()32,fxxx111(),11xxhxx求(())fhx的零点.解：由(())0fhx可知()12hx或解方程得函数(())fhx的零点为130,,1,,222经验总结：直接带入求解.二、确定零点的大致位置异号定零位例2：函数()ln26fxxx的零点所在的大致区间是（C）A（0，1）B（1，2）C（2,3）D（3，4）解：(2)(3)0ff练习：若函数()fx的零点与()422xgxx的零点之差的绝对值不超过0.25，则()fx可以是（A）A.()41fxxB.2()(1)fxxC.()1xfxeD.1()ln()2fxx经验总结：借助于(a)()0ffb来确定零点所在的区间.三、求零点的个数画图定零数1、一元三次函数的零点问题3xoyoo例3：求函数32()6910fxxxx的零点个数.解：2()31293(3)(1)fxxxxx令()0fx，得3x或1x，0fx,得13x可得()fx在(,1)和(3,)上为增，在(1,3)上为减，由图像可得只有一个零点.变式：32()6910fxxxxa在xR上有三个零点，求a的取值范围.分析1：一元三次函数知识总结：（1）一个零点：函数单调或极大值小于零或极小值大于零（2）两个零点：极大值或极小值等于零（3）三个零点：极大值和极小值一正一负解：由22()31293(43)3(3)(1)fxxxxxxx，令()0fx，得3x或1x，0fx,得13x()fx在(,1)，(3,)上单调递增，在(1,3)上单调递减()=(1)4100fxfa极大值，6a()=(3)100fxfa极小值106a.分析2：原函数可以化为：326910axxx2、()g(x)fx型函数的零点问题解：函数分成326910yayxxx与的交点由图像可知：106a练习：函数1sin21yxx在2,4上有个交零点,这些零点的横坐标之和为xyo4解:函数11yx与sin2yx的图像在2,4有8个交点,因为图像都关于1,0点对称,故交点的横坐标之和为8.经验总结：把一个函数转化成两个函数相减的形式，分离成两个函数求交点的问题.注意分离的两个函数尽可能的是熟悉、常见的函数.3、复合函数的零点问题例4：已知函数32()31fxxx，221()1,0()2(3)1,0xxgxxx，则方程()0gfxa（a为正实数）的实数根最多有___6___个.解：由图像可知，最多有6个.练习:设R上的函数2lg(0)()-2(0)xxfxxxx则关于x的函数1)(3-)(2y2xfxf的零点的个数为（D）A2B3C5D7解：由图像可得，零点的个数为7个.经验总结：先分离出内外层函数，分别作出内外层函数的图像，借助图像来求解.四、据零数探参数画图定零数1、分离参数法例5：已知()2ln+fxxax没有零点，求a的取值范围.解：()2ln+fxxax没有零点可以转化为()2ln+00fxxax或恒成立问题.即2ln2lnxxaaxx或恒成立问题.∵2ln2xyxe∴2ae5练习：已知32()9fxxaxx在0,3上没有零点，求a的取值范围.解：()fx没有零点可转化为9(),0,3axxx恒成立问题，即min9(),0,3axxx得(,6)a.（另一种情况9(),0,3axxx无解）经验总结：分离出参数之后变成了一个函数恒成立的问题.2、一侧是直线型：参数为直线的斜率，不能分离出参数例6：已知函数22,0()ln(1),0xxxfxxx，若()yfxax至多有一个零点，则a的取值范围是_______解：()yfxax至多有一个零点，即()0yfxax有一解或无解，所以可以转化为()yfx图像与yax图像至多有一个交点.参考图像可以帮助求得a的范围是[-2,0].（若转化成()fxax，因为x∈R,所以分离不出参数a.）练习：已知函数32,2()(1),02xfxxxx,若()fxkx有两个不同的零点，求k的取值范围.经验总结：参数为直线的斜率，就变成直线过定点旋转问题.【知识小结】常见的零点问题及解法：一、直接求函数的零点求根定零点经验总结：直接带入求解二、确定零点的大致位置异号定零位经验总结：借助于(a)()0ffb来确定零点所在的区间.三、求零点的个数画图定零数1、一元三次函数的零点问题经验总结：（1）一个零点：函数单调或极大值小于零或极小值大于零（2）两个零点：极大值或极小值等于零（3）三个零点：极大值和极小值一正一负2、()g(x)fx型函数的零点问题经验总结：把一个函数分离成两个函数相减的形式，注意分离的两个函数尽可能的是熟悉、常见的函数.3、复合函数的零点问题经验总结：先分离出内外层函数，分别作出内外层函数的图像，借助图像来求解.四、据零数探参数画图定参数1、分离参数法经验总结：分离出参数之后变成了一个函数恒成立的问题.2、一侧是直线型：参数为直线的斜率，不能分离出参数经验总结：参数为直线的斜率，就变成直线过定点旋转问题.【作业】提升训练专项练习解：0k0.5