三角函数型应用题(高一)

1三角函数型应用题（高一）1．如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD的池底水平铺设污水净化管道FHERt(，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点，,EF分别落在线段,BCAD上.已知20AB米，103AD米，记BHE.（1）试将污水净化管道的长度L表示为的函数,并写出定义域；（2）若sincos2，求此时管道的长度L；（3）问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.2解：（1）10cosEH，10sinFHcossin10EF由于10tan103BE，10103tanAF3tan33，[,]63101010cossinsincosL，[,]63.(2)2cossin时，21cossin,)12(20L;（3）101010cossinsincosL=sincos110()sincos设sincost则21sincos2t由于[,]63，所以31sincos2sin()[,2]42t201Lt在31[,2]2内单调递减，于是当312t时,63时，L的最大值20(31)米.答：当6或3时所铺设的管道最短，为20(31)米.3DABCOEF2．某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC=253米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到小区整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°，如图所示．（1）设∠BOE=，试将OEF的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．4解：(1)∵在Rt△BOE中，OB=25,∠B=90°，∠BOE=，∴OE=25cos.…………2分在Rt△AOF中，OA=25,∠A=90°，∠AFO=，∴OF=25sin.……………………4分又∠EOF=90°，∴EF=22222525()()cossinOEOF=25cossin,∴252525cossincossinlOEOFEF即25(sincos1)cossinl．…………………………………………6分当点F在点D时，这时角最小，求得此时=π6；当点E在C点时，这时角最大，求得此时=π3．故此函数的定义域为ππ[,]63.……………………………………………………………8分(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求OEF的周长l的最小值即可.由（1）得，25(sincos1)cossinl，ππ[,]63设sincost，则21sincos2t，∴225(sincos1)25(1)501cossin12tltt……………………………………………12分由，5ππ7π12412，得3122t，∴311212t，从而121311t，……………………………………………………………15分当π4，即BE=25时，min25(21)l,所以当BE=AE=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为10000(21)元.…………16分53.如图，ABCD是块边长为100m的正方形地皮，其中AST是一半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在弧ST上，相邻两边CQ、CR落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值。解：设),900(PAB延长RT交AB于Msin90,cos90MPAM.cos90100MBPQsin90100MPMRPR)sin90100)(cos90100(PRPQSPQRC矩形cossin8100)cos(sin900010000),900(令21cossin),21(cossin2ttt950)910(405021810090001000022tttSPQRC矩形-10故当910t时，S的最小值为2950m,当2t时S的2)2900014050(mTQCPSDRAB64．如图，在半径为3、圆心角为60的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点,NM在OB上，设矩形PNMQ的面积为y,按下列要求写出函数的关系式：（1）①设PNx，将y表示成x的函数关系式；②设POB，将y表示成的函数关系式；请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值．解：（1）①因为23ONx，33OMx，所以2333MNxx，…2分，所以233(3),(0,)32yxxxx.……………4分②因为3sinPN，3cosON，33sinsin3OM，所以3cossinMNONOM………………………6分所以3sin(3cossin)y，即23sincos3siny，((0,))3…8分（2）选择233sincos3sin3sin(2)62y，……………12分(0,)352(,)666…………………13分所以max32y.………14分POABQMN75．如下图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC的内接正方形PQRS为一水池，ABC外的地方种草,其余地方种花.若BC=a,ABC=，设ABC的面积为1S，正方形PQRS的面积为2S，将比值21SS称为“规划合理度”.（1）试用a,表示1S和2S；（2）若a为定值，当为何值时,“规划合理度”最小？并求出这个最小值．ABCPQRS8（1）在RtABC中，cos,sinABaACa，2111sincos22SABACa……………3分设正方形的边长为x则,cossinxBPAPx，由BPAPAB，得coscossinxxa，故sincos1sincosax所以222sincos()1sincosaSx……………6分（2）22121(1sin2)1(1sincos)112sin212sincossin2sin24SS，……8分令sin2t，因为02，所以02，则sin2(0,1]t……………10分所以12111()4StgtSt，211()04gtt，所以函数()gt在(0,1]上递减，……………12分因此当1t时()gt有最小值min9()(1)4gtg，此时sin21,4……………14分所以当4时，“规划合理度”最小，最小值为94．……………15分96．如图所示，一条直角走廊宽为2米。现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形ABEF，它的宽为1米。直线EF分别交直线AC、BC于M、N，过墙角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠CAB，试求平板面的长(用表示)；⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?解：（1）DM=sin2，DN=cos2，MF=tan1，EN=tan，EF=DM+DN-MF-EN=sin2+cos2－tan1－tan=cossin1)cos(sin2（20）（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角（20），平板车的长度不能通过，即平板车的长度minl；记,cossint21t，有cossin=212t，=cossin1)cos(sin2=1242tt此后研究函数的最小值，方法很多；如换元（记mt24，则42mt）或直接求导，以确定函数在]2,1[上的单调性；当2t时取得最小值224AB2m2mMNEDFPQCCl107．（本小题满分15分）一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：（1）求棒长L关于的函数关系式：L；（2）求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值．解：（1）如图，sin2,cos2BCABsin2cos2BCABACL20（2）cossinsincos2L令4sin2sincost，因为40，所以2,1t，则2121cossincossin22tttttL1221222，当2,1t时，tt1随着t的增大而增大，所以22,01tt所以,4L所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为4………15分22ABC22118．如图，A，B，C是三个汽车站，AC，BE是直线型公路．已知AB＝120km，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．有一辆车（称甲车）以每小时96（km）的速度往返于车站A，C之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车（称乙车）以每小时120（km）的速度从车站B开往另一个城市E，途经车站C，并在车站C也停留10分钟．已知早上8点时甲车从车站A、乙车从车站B同时开出．（1）计算A，C两站距离，及B，C两站距离；（2）若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C处利用停留时间交换．（3）求10点时甲、乙两车的距离．（参考数据：21.4，31.7，62.4，11110.5）（1）在△ABC中，∠ACB＝60°．∵sin60sin75sin45ABBCAC，∴2120120sin45240696(km)sin6032AC，62120120sin754602206132(km)sin6032BC．（2）甲车从车站A开到车站C约用时间为96196（小时）＝60（分钟），即9点到C站，至9点零10分开出．乙车从车站B开到车站C约用时间为1321.1120（小时）＝66（分钟），即9点零6分到站，9点零16分开出．则两名旅客可在9点零6分到10分这段时间内交换到对方汽车上．（3）10点时甲车离开C站的距离为509680(km)60，乙车离开C站的距离为4412088(km)60，两车的距离等于22808828088cos608100121110＝8111810.584(km)．ECBA129．如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有两面墙的夹角为60°（即60C），现有可供建造第三面围墙的材料6米（两面墙的长均大于6米），为了使得小老虎能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记ABC，问当为多少时，所建造的三角形露天活动室的面积最大？解：在ABC中，由正弦定理：sinsinsin()33ACABBC···························3分化简得：43sinAC43sin()3BC所以1sin23ABCSACBCw.w.w.k.s.5.u.c.o.m13123sinsin()123sin(sincos)322···························8分21cos2363(sin3sincos)63(sin2)22163[sin(2)]26即63sin(2)336AB