江苏高考数学专题之“隐形圆”问题-(pdf版)

“隐形圆”问题一、问题概述江苏省高考考试说明中圆的方程是C级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．二、求解策略如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略．策略一利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1（1）如果圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是________．605a略解：到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解．（2）（2016年南京二模）已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则a的取值范围为_________．解：由题意得2OP，所以P在以O为圆心2为半径的圆上，即此圆与圆M有公共点，因此有222221211(4)92222OMaaa≤≤≤≤．（3）（2017年苏北四市一模）已知AB、是圆221:1Cxy上的动点，=3AB，P是圆222:(3(4)1Cxy）上的动点，则PAPB的取值范围是．[7,13]略解：取AB的中点M，则C1M=12，所以M在以C1圆心，半径为12的圆上，且2PAPBPM，转化为两圆上动点的距离的最值．（4）若对任意R，直线l：xcos＋ysin＝2sin(＋6)＋4与圆C：(x－m)2＋(y－3m)2＝1均无公共点，则实数m的取值范围是．15(,)22略解：直线l的方程为：(x-1)cos＋(y-3)sin＝4，M(1,3)到l距离为4，所以l是以M为圆心半径为4的定圆的切线系，转化为圆M与圆C内含．注：直线l：(x-x0)cos＋(y-y0)sin＝R为圆M：22200()()xxxyR的切线系．例2（2017年南通市一模）在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆224xy上两点，点(11)A，，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为．解：法一（标解）：设BC的中点为,Mxy，因为22222OBOMBMOMAM，所以2222411xyxy，化简得22113222xy，所以点M的轨迹是以1122，为圆心，322为半径的圆，所以AM的取值范围是626222，，所以BC的取值范围是6262，．法二：以AB、AC为邻边作矩形BACN，则BC＝AN，由矩形的几何性质（矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方和相等），有2222OBOCOAON，所以ON＝6，故N在以O为圆心，半径为6的圆上，所以BC的取值范围是6262，．变式1（2014年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy中，已知圆2216:Oxy，点P12(,)，M、N为圆O上两个不同的点，且0PMPN，若PQPMPN，则PQ的最小值为．335变式2已知圆1C：229xy，圆2C：224xy，定点(1,0)P，动点,AB分别在圆1C和圆2C上，满足90APB，则线段AB的取值范围．[231,231]变式3已知向量a、b、c满足3,2,1,()()0abcacbc，则ab范围为．[231,231]xyO例2ABCMxyPOBA策略二动点P对两定点A、B张角是090（1PAPBkk，或PAPB0）确定隐形圆例3（1）（2014年北京卷）已知圆C：22(3)(4)1xy和两点(,0)Am，(,0)Bm，若圆上存在点P，使得90APB，则m的取值范围是．4,6略解：由已知以AB为直径的圆与圆C有公共点．（2）（海安2016届高三上期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点P(−1，0)，Q(2，1)，直线l：0axbyc其中实数a，b，c成等差数列，若点P在直线l上的射影为H，则线段QH的取值范围是．[2,32]解：由题意，圆心C(1，－2)在直线ax＋by＋c＝0上，可得a－2b＋c＝0，即c＝2b－a．直线l：(2a－b)x＋(2b－c)y＋(2c－a)＝0，即a(2x＋y－3)＋b(4－x)＝0，由230,40xyx，可得x＝4，y＝－5，即直线过定点M(4，－5)，由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为A(5，2)，方程为(x－5)2＋(y－2)2＝50，∵|CA|＝42，∴CH最小为52－42＝2，CH最大为42＋52＝92，∴线段CH长度的取值范围是[2，92]．（3）（通州区2017届高三下开学初检测）设mR，直线1l：0xmy与直线2l：240mxym交于点00(,)Pxy，则220002xyx的取值范围是．[12410,12410]略解：l1过定点O(0，0)，l2过定点A(2，-4)，则P在以OA为直径的圆上（除去一点），变式（2017年南京二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为．32策略三两定点A、B，动点P满足PAPB确定隐形圆例4（1）（2017年南通密卷3）已知点(2,3)A，点(6,3)B，点P在直线3430xy上，若满足等式20APBP的点P有两个，则实数的取值范围是．解：设P（x，y），则(2,3)APxy，(6,3)BPxy，根据20APBP，有221341322xy.由题意圆：221341322xy圆与直线3430xy相交，圆心到直线的距离2234403313234d，所以2.（2）（2016年盐城三模）已知线段AB的长为2，动点C满足CACB（为常数），且点C总不在以点B为圆心，12为半径的圆内，则负数的最大值是.34略解：动点C满足方程221xy.策略四两定点A、B，动点P满足22PAPB是定值确定隐形圆例5（1）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2＝10，则实数a的取值范围是．[0，3]略解：M满足的方程为22(1)4xy，转化为两圆有公共点（2）（2017年南京、盐城一模）在ABC中，A，B，C所对的边分别为,,abc，若22228abc，则ABC面积的最大值为．255解：以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建系.设(,0)2cA，(,0)2cB，(,)Cxy，则由22228abc，得2222()()2822ccxyxyc，即222544xyc，所以点C在此圆上，S≤2225155254(4)2244455ccrccc≤变式（2008年高考江苏卷）若22ABACBC，，则ABCS的最大值．22策略五两定点A、B，动点P满足01PAPB(,)确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）例6（1）（2016年南通一模）在平面直角坐标xOy中，已知点(1,0),(4,0)AB，若直线0xym上存在点P使得12PAPB,则实数m的取值范围是.[22,22]略解：点P满足圆的方程为224xy，转化到直线与圆相交.（2）（2016届常州一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，动点P在直线30xyb上，过点P作圆O，O1的两条切线，切点分别为A，B，若满足2PBPA的点P有且仅有两个，则b的取值范围_________．20,43－例7（2017年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°36，335.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．解：（1）略（2）如图乙，以A为原点，正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy．则223B，，设缉私艇在()Pxy，处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则3PAPB，即22223(2)23xyxy．整理得，229993444xy，所以点()Pxy，的轨迹是以点99344，为圆心，32为半径的圆．因为圆心99344，到领海边界线l：3.8x的距离为1.55，大于圆半径32，所以缉私艇能在领海内截住走私船．策略六由圆周角的性质确定隐形圆例8（1）已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边，2a，(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC则ABC面积的最大值为_________．3y公海领海AB图乙60lx领海AB北(例7)30°公海l略解：cos∠A＝12，∠A＝60°，设ABC的外接圆的圆心为O，外接圆的半径为233，则O到BC的距离为33，则边BC上的高h的最大值为33+233=3，则面积的最大值为3．（2）（2017年常州一模）在△ABC中，∠C＝45o，O是△ABC的外心，若OCmOAnOB(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是_________．[2,1)略解：∠AOB＝2∠C＝90°，点C在以O为圆心，半径OA的圆上（在优弧AB上）．三、同步练习1．已知直线20:lxym上存在点M满足与两点(2,0)A,(2,0)B连线的斜率之积为1，则实数m的取值范围是．2525[,]2．(2016年泰州一模)已知实数a，b，c满足222abc，0c，则2bac的取值范围为．3333[,]3．已知,tR，则22(cos2)(sin2)tt的取值范围是．[221,221]4．已知圆22341:()()Cxy和两点00(,),(,)AmBm0()m．若圆C上存在点P，使得1PAPB，则m的取值范围是．[15,35]5．在平面直角坐标系xOy中，圆221xy交x轴于,AB两点，且点A在点B左边，若直线+30xym上存在点P，使得2PAPB，则m的取值范围为．13[,1]36．（2016年苏北四市一模）已知)1,0(A，)0,1(B，)0,(tC，点D是直线AC上的动点，若2ADBD≤恒成立，则最小正整数t的值为．47．（2016年无锡一模）已知圆22:(2)4Cxy，线段EF在直线:1lyx上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A、B，使得0PAPB≤，则线段EF长度的最大值是．148．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点(与点A,B不重合)，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，则线段PD的取值范围．2(,2)39．在平面直角坐标系xOy中，已知点(0)(0)Att，，(0)Bt，，点C满足8ACBC，且点C到直线l：34240xy的最小距离为95，则实数t的值是．110．（2013年江苏卷第17题改编）在平面直角坐标系xOy中，已知点00(,)O，03(,)A如果圆22241:()()Cxaya上总存在点M使得2MAMO，则圆心C的横坐标a的取值范围是．1205[,]11．已知向量a、b、c满足2a，3=bab，若(2)(23)0cabc，则bc的最大值