用0函数的周期性

函数的自对称性复习回顾：函数的奇偶性①若___________，则f（x）是偶函数;1.定义：对于f(x)的定义域内任意一个x，注意:①若函数的定义域不关于原点对称,则函数必定是__________函数.②若___________，则f（x）是奇函数.2.函数的奇偶性有种情况:奇函数,偶函数,非奇非偶函数,既奇又偶函数②若奇函数f(x)在x=0时有意义，则必有____________.4f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)非奇非偶f（0）=0②奇函数在关于原点对称的两个区间内的单调性______，偶函数则______.3.图象的性质：①奇函数的图象关于______对称；偶函数的图象关于______对称.原点y轴相同相反1.定义：对于定义域内的任意x，f（x+T）=f（x）f（x+nT）=f（x）（n∈Z且n≠0）f（x）的周期为T.（T≠0）2.性质：若f（x）是周期为T的函数，则：4.若函数f(x)具有以下条件中的一个,都有函数的周期为______.1(1)()()(2)()()1(3)()(4)()()()fxafxfxafxfxafxafxafx复习回顾：函数的周期性3.判定：f（x+a）=f（x+b）f（x）的周期为.a-b2a判定：f（x+a）=f（x+b）a-bf（x）的周期为.问题的提出：若将f（x+a）=f（x+b）改成f（x+a）=f（-x+b），会有什么结论？定理：()()faxfbx函数y=f(x)关于直线对称2abx关系式中x的符号相反关系式中x的符号相同一、函数的对称性若函数y=f(x)上任意一点关于某直线（或某点）的对称点仍在y=f(x)上，就称f(x)关于某直线（或某点）对称.------这种对称性称为函数f(x)自身对称，简称自对称。所谓一个函数具有自对称性，就是指这个函数的图象本身关于某直线对称或某点对称.21.(0)二次函数yaxbxca关于直线对称。2bxa关于直线对称。2.(0)绝对值型函数yaxbmaxb常见函数的对称性如：函数y=|x|关于直线x=0对称（即关于y轴对称）；函数y=|x+1|关于直线x=-1对称；函数y=2|x-3|关于直线x=3对称；函数y=-2|x+2|-3关于直线x=-2对称.关于直线对称（轴对称）的函数如：函数y=x2+4x-5关于直线x=2对称；3.(0)对号型函数ayxax关于对称.4.(0)反比例型函数ByABCCxD关于点对称.,DAC常见函数的对称性原点关于点对称（中心对称）的函数如：函数关于点(0,0)对称（即关于原点对称）；1yx11yx函数关于点(-1,0)对称；函数关于点(2,0)对称；32yx函数关于点(-2,0)对称；3524yx()()faxfax函数y=f(x)关于直线x=a对称推论1：()(2)fxfax函数y=f(x)关于直线x=a对称推论2：函数关于直线自对称的定理及其两个推论定理：()()faxfbx函数y=f(x)关于直线对称2abx以二次函数y=(x-a)2为例，如图：a+xa-xf(a-x)f(a+x)x2a-xf(2a-x)f(x)ax=aYXOABax=aYXOAB推论1：推论2：定理：二、函数关于直线自对称的定理()()faxfbx∴y=f(x)关于直线x=a对称。函数y=f(x)关于直线对称2abx证明：设点A(m,n)是函数y=f(x)上的任意一点，则n=f(m)，点A(m,n)关于直线的对称点为点B(a+b-m,n).2abx∵f(a+b-m)=f[(b-m)+a]=f[b-(b-m)]=f(m)=n,即f(2a-m)=n,∴点B(2a-m,n)也在函数y=f(x)上，关系式中x的符号相反()(2)fxfax推论1：()()faxfax函数y=f(x)关于直线x=a对称函数y=f(x)关于直线x=a对称推论1证明：设点A(m,n)是函数y=f(x)上的任意一点，则n=f(m)，点A(m,n)关于直线x=a的对称点为点B(2a-m,n).∵f(2a-m)=f[(a-m)+a]=f[a-(a-m)]=f(m)=n,即f(2a-m)=n,∴点B(2a-m,n)也在函数y=f(x)上，∴y=f(x)关于直线x=a对称。推论2：关系式中x的符号相反二、函数关于直线自对称的定理的两个推论()(2)fxfax()()faxfax函数y=f(x)关于直线x=a对称函数y=f(x)关于直线x=a对称推论2证明：设点A(m,n)是函数y=f(x)上的任意一点，则n=f(m)，点A(m,n)关于直线x=a的对称点为点B(2a-m,n).∵f(2a-m)=n,∴点B(2a-m,n)也在函数y=f(x)上，∴y=f(x)关于直线x=a对称。关系式中x的符号相反推论1：推论2：二、函数关于直线自对称的定理的两个推论()(2)fxfax()()faxfax函数y=f(x)关于直线x=a对称函数y=f(x)关于直线x=a对称以上三个关系式中x的符号相反。推论1：推论2：二、函数关于直线自对称的定理及其两个推论定理：()()faxfbx函数y=f(x)关于直线对称2abx当定理和推论中的字母参数为a,b都为0时，公式变为f(x)=f(-x),函数f(x)关于直线x=0对称，即关于y轴对称，f(x)为偶函数。注意区别:①若f(a+x)=f(a-x),则f(x)______________________;②若f(x+a)=f(x-a),则f(x)_____________________.的图象关于直线x=a对称是周期函数,周期为2a练习1.对于函数f(x)，若满足f(x-1)=f(1-x)，则y=f(x)的图象（）A.关于直线x=0对称B.关于直线x=1对称C.关于直线x=-1对称D.以上都不对A2.对于函数f(x)，若满足f(x+1)=f(1-x)，则y=f(x)的图象（）A.关于直线x=0对称B.关于直线x=1对称C.关于直线x=-1对称D.以上都不对B3.对于函数f(x)，若满足f(x+4)=f(-x)，则y=f(x)的图象（）A.关于直线x=2对称B.关于直线x=-2对称C.关于直线x=-4对称D.以上都不对A解：∵f(4＋x)＝f(4－x),∴f(x)的对称轴方程是x＝4，∵f(x)在(4，＋∞)上是减函数，∴f(x)在(-∞，4)上是增函数，∴f(-2)＝f(-3)．例1若函数f(x)在(4,＋∞)上是减函数,且对任意∈R,有f(4＋x)＝f(4－x),则()A．f(-2)f(-3)B．f(2)f(5)C．f(-3)f(-5)D．f(3)f(6)例2若函数f(x)在(4,＋∞)上是减函数,且对任意∈R,有f(4＋x)＝f(4－x),则()A．f(2)f(3)B．f(2)f(5)C．f(3)f(5)D．f(3)f(6)解：∵f(4＋x)＝f(4－x),∴f(x)的对称轴方程是x＝4，∴f(3)=f(5),∵f(x)在(4，＋∞)上是减函数，∴f(5)f(6)，∴f(3)＝f(6)．典型例题1.若函数f(x)满足f(3-x)=f(x+3),求的值.()12341,,,,2fxxxxx=使的解是1234xxxx+++12练习2.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(4-x),且方程f(x)=0有1001个根，则这1001个根的和？20023.定义在R上的函数f（x）满足：f（2+x）=f（2-x），若方程f（x）=0有且只有三个不等实根，且0是其中之一，则方程的另外两个根必是（）A．-2，2B．-1，4C．1，-1D．2，4解：∵满足f（2+x）=f（2-x），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，又∵方程f（x）=0有三个实根，∴三个实根必然也关于直线x=2对称，其中必有一个根是2，另两个根的和为4,0是其中之一，则方程的另外一个根必是4．∴则方程的另外两个根必是2，4.故选D．练习例4：设f(x)图象关于直线x=1对称,在(-∞,1]上，f(x)=x2+1,求当x∈(1,+∞)时f(x)的解析式。解：设x1，则2-x1，∴f(2-x)=(2-x)2+1=x2-4x+5，∵f(x)图象关于直线x=1对称,∴f(x)=f(2-x)，∴f(x)=x2-4x+5，∴当x＞1时，函数f(x)的解析式为：f(x)=x2-4x+5.求谁设谁将x转化到已知区间.求对称区间上的解析式的步骤：1.求谁设谁，设出x；2.将x转化到已知区间，写出已知区间的解析式；3.利用对称性，写出所求区间的解析式。典型例题设f(x)满足f(1+x)=f(1-x),在(-∞,1]上,f(x)=1-x2,求当x∈(1,+∞)时,f(x)的解析式。212,[1,)fxxx练习()()(4),()236(),(),(4)55yfxfxfxfxfff4.已知函数满足且在（，）上为增函数，比较的大小.33176614f=f-ff=f-f5555551417fx+45563ff55解：（）（4）=（）（）（4）=（）又（）在（2，）上单调递增，而（）（）f(4)-xxxyof(-x)=-f(x)奇函数y=f(x)图象关于(0,0)中心对称中心对称性类比探究a从”形”的角度看，从”数”的角度看，二、函数关于点自对称的研究f(x)=-f(2a-x)xyoay=f(x)图象关于(a,0)中心对称从”形”的角度看，从”数”的角度看，中心对称性类比探究x2a-x二、函数关于点自对称的研究f(x)=-f(2a-x)f(a-x)=-f(a+x)xyoa从”形”的角度看，从”数”的角度看，中心对称性类比探究a+xa-xy=f(x)图象关于(a,0)中心对称二、函数关于点自对称的研究注意区别:②若f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图象___________________;①若f(x+a)=f(x-a),则f(x)是_____________________.关于直线x=a对称周期函数,周期为2a③若f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象___________________;关于直线x=a对称⑤若f(a+x)=-f(a-x),则f(x)的图象___________________;关于点(a,0)对称⑥若f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象___________________;关于点(a,0)对称④若f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象___________________;关于直线对称2abx⑦若f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象___________________.关于点对称(,0)2abf(x)=-f(2a-x)f(a-x)=-f(a+x)xyoa从”形”的角度看，从”数”的角度看，中心对称性类比探究a+xa-xy=f(x)图像关于(a,0)中心对称baf(a+x)=2b-f(a-x)f(2a-x)=2b-f(x)b中心对称性y=f(x)图像关于(a,b)中心对称类比探究xyo结论(1)若y=f(x)满足f(a-x)=-f(b+x),(2)若y=f(x)满足f(a-x)=2c-f(b+x),则函数图像关于对称a+b2(,0)点则函数图像关于对称a+b2(,C)点abxyoA(x1,y1)B(x2,y2)y2x2y1x1M(a,b)如图,函数y=f(x)的A(x1,y1)、B(x2,y2),且A、B两点关于点M(a,b)对称，则有x1+x2=2ay1+y2=2bf(a+x)=2b-f(a-x)f(2a-x)=2b-f(x)y=f(x)图像关于(a,b)中心对称结论4函数图象关于点对称，则yfx11,22(3)(2)(1)(0)(1)(2)(3)(4)ffffffff=。练习解之得a≥