一元一次方程(提高)

让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第1页共8页一元一次方程（基础）知识讲解撰稿：吴婷婷审稿：常春芳【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2.正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3.理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】【高清课堂：从算式到方程一、方程的有关概念】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它（或它们）是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（或未知数）.【高清课堂：从算式到方程二、一元一次方程的有关概念】要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且所含未知数的项的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①是一个方程；②必须只含有一个未知数；③含有未知数的项的最高次数是1；④分母中不含有未知数．（2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a≠0，a,b是常数).（3）一元一次方程的最简形式是：ax＝b（其中a≠0，a,b是常数）.【高清课堂：从算式到方程三、解方程的依据——等式的性质】要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加上（或减去）同一个数或同一个整式，结果仍是等式，即：如果，那么(c为一个数或一个式子).等式的性质2：等式两边乘（或除以）同一个数（除数不等于0），结果仍是等式，即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第2页共8页(2)等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立；(3)等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．3.移项：在解方程的过程中，等号的两边加上（或减去）方程中某一项的变形过程，相当于将这一项改变符号后，从等号的一边移到另一边.这种变形过程叫做移项.要点诠释：移项通常是指把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，但无论是移含有未知数的项还是其他项都要改变符号，然后再进行移项.【典型例题】类型一、方程的概念1．下列各式，哪些是等式？哪些是方程？①3a+4；②x+2y＝8；③5-3＝2；④12xx；⑤y＝10；⑥83x；⑦3y2+y＝0；⑧2a2-3a2；⑨3a＜-2a．【答案与解析】解：等式有：②③④⑤⑥⑦；方程有：②④⑤⑥⑦．【总结升华】方程是含有未知数的等式，方程和等式的关系是从属关系，且具有不可逆性，方程一定是等式，但等式不一定是方程，区别在于是否含有未知数．2．下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是()．A．2x-1＝3(2，-1)B．5118xx(3，-3)C.(x-1)(x-2)＝0(1,2)D．2(y-2)-1＝5(5，4)【答案】C.【解析】把方程后面括号里的数分别代入方程的左、右两边，使左边＝右边的是方程的解，若左边≠右边的，则不是方程的解．【总结升华】检验一个数是否为方程的解，只要把这个值分别代入方程的左边和右边：若代入后使左边和右边的值相等，则这个数是方程的解；若代入后使方程左右两边的值不相等，则这个数不是方程的解．举一反三：【变式】若是关于的方程的解，则的值为__________.【答案】-1．类型二、一元一次方程的相关概念3．已知下列方程：①210x；②x＝0；③13xx；④x+y＝0；⑤623xx；⑥0.2x＝4；⑦2x+1-3＝2(x-1)．其中一元一次方程的个数是()．A．2B．3C．4D．5【答案】B让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第3页共8页【解析】方程①中未知数x的最高次数是2，所以不是一元一次方程；方程③中的分母含有未知数x，所以它也不是；方程④中含有两个未知数，所以也不是一元一次方程；⑦经化简后为-2＝-2，故它也不是一元一次方程；方程②⑤⑥满足一元一次方程的条件，所以是一元一次方程．【总结升华】方程中的未知数叫做元，只含有一个未知数称为“一元”，“次”是指含有未知数的项中次数最高项的次数，判断一个方程是不是一元一次方程，看它是否具备三个条件：①只含有一个未知数；②经过整理未知数的最高次数是1；③含未知数的代数式必须是整式（即整式方程）．举一反三：【变式】(1)已知关于x的一元一次方程32105mx，求得m＝________．(2)已知方程(m-4)x+2＝2009是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是________．(3)若||1(2)5mmx是关于x的一元一次方程，则m的值为()A．±2B．-2C．2D．4【答案】(1)13m(2)m≠4(3)B类型三、等式的性质4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪条性质，以及怎样变形得到的．(1)若4a＝8a-5，则4a+________＝8a．(2)若163x，则x＝________．(3)13132xyy，则112x＝________．(4)ax+by＝-c，则ax＝-c________．【思路点拨】根据等式的基本性质观察式子进行判断．【答案与解析】解：(1)5；根据等式性质1，等式两边同时加上5．(2)118；根据等式性质2，等式两边同时除以-6．(3)2；根据等式性质l，等式两边都加上(1+3y)．(4)–by；根据等式性质l，等式两边都加上-by．【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．举一反三：【变式】下面方程变形中，错在哪里？（1）由2+x=-4,得x=-4+2.（2）由9x=-4,得94x.（3）由5=x-3,得x=-3-5.（4）由3241155xx，得3x-2=5-4x+1.让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第4页共8页(5)方程2x=2y两边都减去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y),即x-y=-(x-y).方程x-y=-(x-y)两边都除以x-y,得1=-1.(6)由3721223xxx，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x.【答案】（1）不正确.错在数2从方程的等号左边移到右边时没有变号.（2）不正确，错在被除数与除数颠倒（或分子与分母颠倒了）.（3）不正确，错在移项或等号两边的项对调时把符号弄错，正确的变形是：由5=x-3，得5+3=x,即x=5+3.（4）不正确，没有注意到分数415x中的“分数线”也起着括号的作用，因此当方程两边的各项都乘以5时，+1没有变号.（5）不正确，错在第二步，方程两边都除以x-y，由等式性质2要除以不为零的数.（6）不正确，错在2x没乘以公分母6.类型四、等式或方程的应用5．观察下面的点阵图形(如图所示)和与之相对应的等式，探究其中的规律：(1)请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式．……(2)通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式．【思路点拨】通过观察图像可得：图形呈放射状，四条线上每变化一次各增加一个点，第n个图形每条线上应该是n个点；再观察对应的等式即可求解．【答案与解析】解：等式的左右两边都是表示对应图形中点的个数，等式的左边是从1个点开始的，第2个图形增加4个点表示为4×1+1，第3个图形又增加4个点，表示为4×2+1，…，第n个图形共增加(n-1)个4个点，表示为4(n-1)+1；等式的右边，把第一个图形看作4点重合为一个点，表示为4×1-3，第2个图形增加4个点，表示为4×2-3，第3个图形又增加4个点，表示为4×3-3，…，第n个图形看作n个4个点少3个点，表示为4n-3，所以有4(n-1)+1＝4n-3．(1)④4×3+1＝4×4-3⑤4×4+1＝4×5-3(2)4(n-1)+1＝4n-3【总结升华】设出未知量并用此未知量表示出题中的数量关系．举一反三：【变式】小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km？设他家到学校的路程是xkm，则据题意列出让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第5页共8页的方程是（）A.10515601260xxB.10515601260xxC.10515601260xxD.1051512xx【答案】A【巩固练习】一、选择题1．下列各式是方程的是()A．533xyB．2m-3＞1C．25+7＝18+14D．73852tt2.已知关于y的方程324ym与41y的解相同，则m的值是（）A．9B．-9C．7D．-83．若关于x的方程(k-1)x2+(4k+3)x+3k-5＝0是一元一次方程，则k的值为()．A．0B．34C．1D．534．根据图所示，对a、b、c三种物体的重量判断正确的是()．A．a＜cB．a＜bC．a＞cD．b＜c5.一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的108）销售，售价为240元，设这件商品的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（）A．x·40%×108=240B．x（1+40%）×108=240C．240×40%×108=xD．x·40%=240×1086.将103.001.05.02.0xx的分母化为整数，得()．A．1301.05.02xxB．1003505xxC．100301.05.020xxD．13505xx二、填空题7.已知0332mxmm是关于x的一元一次方程，则m的值为.8．已知x=3是方程22(1)6xmx的解，则m________.9.如果关于x的方程（a2-1）x=a+1无解，那么实数a=.让更多的孩子得到更好的教育地址：北京市西城区新德街20号4层电话：[phone]传真：[phone]第6页共8页10.将方程63242xx的两边同乘以______得到3(x+2)=2(2x－3)这种变形的根据是______.11.一个个位数是4的三位数，如果把4换到左边，所得数比原数的3倍还多98，若这个三位数去掉尾数4，剩下的两位数是x，求原数，则可列方程为__________________________.12.观察等式：9-1＝8，16-4＝12，25-9＝16，36-16＝20，……这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n≥1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为________．三、解答题13.若2(3)a与1b互为相反数，且关于x的方程1342axyxb的解是1x，求223y的值.14．阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程x3+px2+qx+m=0有整数解c，则将c代入方程得：c3+pc2+qc+m=0，移项得：m=﹣c3﹣pc2﹣qc，即有：m=c×（﹣c2﹣pc﹣q），由于﹣c2﹣pc﹣q与c及m都是整数，所以c是m的因数．上述过程说明：整数