内积空间的张量积、投影与随机不动点

1基于内积空间的张量积、投影与随机不动点的分析摘要：矩阵张量积的计算是矩阵计算中的一类重要问题，与乘法相比，张量积的计算量更为庞大。分析了分块矩阵张量积的相关数学特性、证明了在置换相抵意义下两个矩阵的张量积运算可以交换,特别刻画了这类置换矩阵、并由此证明了在置换相抵条件下分块矩阵可以分块地进行张量积运算。在此基础上,讨论了矩阵张量积的并行计算问题，提出了几种并行计算模型，进行了必要的算法分析、并通过实例阐述了这些算法的思想和过程。预备知识1.内积概念及相关性质：内积空间的基本概念：设H是域K上的线性空间，对任意,xyH，有一个中K数(,)xy与之对应，使得对任意,,xyzH；K满足(,)0xy；(,)0xy，当且仅当0x；(,)xy＝___________(,)yx；(,)(,)xyxy；(,)xyz＝(,)xz＋(,)yz；称(,)是H上的一个内积，H上定义了内积称为内积空间。定义1.1设[();(,)nVH]为内积空间，称(,)为向量的长度，若=1，则称为单位向量。定义1.2在内积空间中。若向量，满足(,)=0，则称向量组与是正交的。定理1.1设();(,)nVH是内积空间，则对空间中任意向量，()nVH，都有2(,)(,)(,)，其中等式成立的充要条件是与线性相关。定理1.2设H是内积空间，则对任意,xyH有：2|(,)|xy(,)(,)xxyy。设H是内积空间，对任意xH，命||||(,)xxx2则||||是H上的一个范数。定理1.3设H是内积空间，则内积(,)xy是,xy的连续函数，即时nxx，nyy，(,)(,)nnxyxy。定理1.4设H是内积空间，对任意,xyH，有以下关系式成立，平行四边形法则：2||||xy＋2||||xy＝222(||||||||)xy；极化恒等式：(,)xy＝14（2||||xy－2||||xy＋2||||ixiy－2||||)ixiy定理1.5设X是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X中原来的范数。定理1.6不含向量的正交向量组是线性无关的。定义1.3在内积空间();(,)nVH中，若一组基12{,,...,}n满足条件1,,0,,(,)ijijij则称12{,,...,}n为()nVH的标准正交基。定理1.7设12{,,...,}n是内积空间[();(,)nVH]中线性无关的向量组，则由如下方法：11，11(,)(,)kkikkiiii，k=2,3,…,m,所得向量组12{,,...,}m是正交向量组。2.张量积2.1概念及相关性质：设1E、2E为线性空间，其代数张量积空间1Ea2E为1Ea2E=121{|,,1,...,,}nrrrrrxyxEyErnnN。按通常张量的定义，有()()ijijiijjijabxyaxby。当1E、2E上分别具有内积1(.,.)和2(.,.)时，引入下述定义。3定义对1122,xyxy1Ea2E，规定（1122,xyxy）=121122(,)(,)xxyy，并线性地扩充到1Ea2E上，称之为1Ea2E上的内积，带有内积的张量积空间简记为1E2E。定理2.11E,2E均为半定的内积空间，当且仅当1E2E是半定的，1E2E为零性空间的充要条件是1E和2E之一为零性空间。定理2.2设1H是1E的子空间，2E非退化，则1212()HEHE。推论2.1设设1H是1E的子空间，2E非退化，则001212()HEHE。推论2.21E,2E是非退化内积空间的充要条件是1E2E为非退化内积空间。推论2.3设零性子空间11ZE，1Z是它的对偶空间，2E非退化，则12ZE是12ZE的对偶空间。推论2.4若1E,2E是非退化内积空间，有限维子空间11HE，则1212()HEHE。定理2.3若12,HH分别是1E,2E中直交可补的子空间，则12HH是1E2E的直交可补子空间；设2E非退化，1H是1E的子空间，12HE直交可补,则1H直交可补。引理2.1非退化内积空间1E2E上内积(·,·)关于e.为一元连续。引理2.2设在非退化内积空间1E,2E上有’1,0,1,2iiixxcxcic，则在1E2E上有'221eezzczc。定理2.4设在非退化内积空间1E,2E上4''1122,,0,xcxycyc则1E2E上内积(·,·)关于e.为二元连续。定理2.5设'1x=1x，'2y=2y，12,xEyE，则存在1E2E上自配极的范数.，使xy=1x2y。例子:1112131212312223231323334babababbbaaaaabababbabababb结果的秩为1,结果的维数为4×3=12。这里的秩指示张量秩（所需指标数），而维数计算在结果数组(阵列)中自由度的数目；矩阵的秩是1。代表情况是任何两个被当作矩阵的矩形数组的克罗内克积。在同维数的两个向量之间的张量积的特殊情况是并矢积。两个张量的张量积：有两个(或更多)张量积的分量的一般公式。例如，如果U和V是秩分别为n和m的两个协变张量，则它们的张量积的分量给出为1231212.........nnnnmmniiiiiiiiiiVUVU所以两个张量的张量积的分量是每个张量的分量的普通积。注意在张量积中，因子U消耗第一个rank(U)指标，而因子V消耗下一个rank(V)指标，所以rankVUrankUrankV例子：设U是类型(1,1)的张量，带有分量U；并设V是类型(1,0)的张量，带有分量V。则UVUV张量积继承它的因子的所有指标。对于矩阵这个运算通常叫做克罗内克积，用来明确结果有特定块结构在其上，其中第一个矩阵的每个元素被替代为这个元素与第二个矩阵的积。对于矩阵U和V：5111111121211121211121121112212211222212221112112221122122121212222212222uvuvuvuvuVuVuvuvuvuvUVuVuVuvuvuvuvuvuvuvuv多重线性映射的张量积：给定多重线性映射1(x,...x)kf和1(x,...x)mg它们的张量积是多重线性函数111()(x,...,x)(x,...,x)g(x,...,x)kmkmkkmfgf在域K上的两个向量空间V和W的张量积有VW,通过“生成元和关系”的方法的形式定义。在这些(,)VW的关系下的等价类被叫做“张量”,并指示为VW。通过构造，可以证明在张量之间的多个恒等式并形成张量的代数。要构造VW，采用在K之上带有基VW的向量空间，并应用(因子化所生成的子空间)下列多线性关系：1212(vv)vv1212(w)vvv(v)cvwvcwcw在解决正交投影这类问题，如果要用定理证明的方法求出线性空间的一个规范正交基。那么首先要对定理进行证明，在理论上作必要的准备！3.投影3.1概念及相关性质：正交和投影定义5.2.1设X是内积空间，,Xxy，若[,]0xy，则称x与y正交，记作xy。正交性质：(1)若xy，则yx；(2)若Xx，则X0xx；(3)若YZ，则ZY；(4)对YX，恒有{}YY0；注{}YY0不意味着YYX。6(5)勾股弦定理：当xy时，222xyxy。引理5.2.1设X是内积空间，YX，则Y是X的闭线性子空间。推论设YX，若span{}ZxxY是Y张成的闭线性子空间，则ZY。定义5.2.2设X是内积空间，12,YY是X的两个线性子空间，若12YY，则称121122{,}YYYxxxx。为1Y与2Y的正交和，记作12YY。命题5.2.1设内积空间X能分解为1Y与2Y的线性和12121122{,}XYYYYxxxx则它为正交和1221,YYYY。定义5.2.3设Y是内积空间X的线性子空间，Xx.若存在01,YYxx，使得01xxx。则称0x是x在Y上的（正交）投影，或x在Y上的投影分量。注11x是x在Y上的（正交）投影，或x在Y上的投影分量。注2一般说来，对于内积空间X的任意向量x以及任意子空间Y，x在Y上的投影并不一定存在。注3若x在Y上有投影，则投影必定是唯一的。定理5.2.1设Y是内积空间X的线性子空间，Xx.若0x是x在Y上的投影，则0infYyxxxy,且0x是Y中使(5.2.2)成立的惟一向量。5.2.2投影定理引理5.2.2（变分引理）设Y是内积空间X中完备的凸集，Xx.记(,)infdYyYxxy，则必有唯一的0Yx，使得0dxx。引理5.2.3设Y是内积空间X中的线性子空间，Xx，0Yx.若0dxx，则0()Yxx，即0()Yxx。定理5.2.2（投影定理）设Y是内积空间X中的完备线性子空间，则对7Xx，x在Y上的投影唯一地存在。即：存在01,YYxx，使得01xxx，且这种分解是唯一的。特别地，当Yx时，0xx。推论1设Y是内积空间X中的完备线性子空间，且YX，则在Y中必有非零元素。推论2设Y是Hilbert空间X中的线性子空间，则()YY。特别地，若{}Y0，则Y在X中稠密。3.2应用举例例在标准欧几里得空间V=R中有向量1=（1，-1，-1，1）2=（1，-1，0，1）3=(1,-1,0,1)线性空间W=L(1,23,)求向量=（2，4，1，2）在W上的正交投影。解这道题有很多方法，第一种方法就是按定理证明的方法。该方法涉及到格拉姆——施密特正交化。因而首先对格拉姆——施密特正交化在理论上给予证明。先考虑在三维空间V1中一组线性无关的向量，则令11再将2在1上的投影向量记为R12取：2212-R2k121则21（如下图所示）有内积得相关知识可得k12=2,1)1,1(()由于3与12,共面，因此3与12,也共面。因而3在12平面的投影向量维R3,则：R12333()()=R13+23131232Rkk其中312313231222,,,,,kk取3333131232Rkk则3123,8再将123,,分别单位化为123,,,rrr即得到一组正交单位向量123,,rrr,它与向量组123,,是等价的。即在三维空间中存在一组单位正交基与123,,等价，那么对于123,,......n，这组线性无关的向量组是否存在正交向量组12,n与它是否等价呢？令11显然1与1等价，再令22122k为保证12,正交即（12,）=0则可得到：211211(,),k也就是说取222211(,),)时。显然有12,与12,等价。再令33131232kk由3231,,0可得313113231122,,,,,kk故313233121122(,)(,)(,)(,)并且123,,与123,,也等价。继续上述步骤，假定已找到两两正交的非零向量12,t满足条件。使得12,s与12,s等价。（其中S=1,2,