(北师大版)必修五2.1.1《正弦定理》教案

教学设计1．1正弦定理整体设计教学分析本节的主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于定理教学课．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．在初中学习过关于任意三角形中大边对大角，小边对小角的边角关系，本节内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系；这里一个重要的问题是，是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数上去．让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？”在引入正弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两角及某一角的对边，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形．我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两角和边计算出三角形的另一角和两条边的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．在学法上主要指导学生掌握“观察—猜想—证明—应用”这一思维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力．本节课以及后面的解三角形中涉及计算器的使用与近似计算，这是一种基本运算能力，学生基本上已经掌握了．若在解题中出现了错误，则应及时纠正，若没出现问题就顺其自然，不必花费过多的时间．三维目标1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法，会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．2．通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法去解决实际问题的能力．通过学生的积极参与和亲身实践，并成功解决实际问题．3．通过本节学习，激发学生对数学学习的热情，培养学生独立思考和勇于探索的创新精神．重点难点教学重点：正弦定理的证明及其基本运用．教学难点：正弦定理的探索和证明；已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个数．课时安排[来源:Z。xx。k.Com]1课时教学过程导入新课思路1.(特例导入)教师可先通过直角三角形的特殊性质引导学生推出正弦定理形式，如Rt△ABC中的边角关系，若C为直角，则有a＝csinA，b＝csinB，这两个等式间存在关系吗？学生可以得到asinA＝bsinB，进一步提问，等式能否与边c和∠C建立联系？从而展开正弦定理的探究．思路2.(情境导入)如图1，某农场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别测到C处出现火情．在A处测到火情在北偏西40°方向，而在B处观测到火情在北偏西60°方向，已知B在A的正东方向10km处．现在要确定火场C距A，B多远？将此问题转化为数学问题，即“在△ABC中，已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB＝10km，求AC与BC的长”．这就是一个解三角形的问题．为此我们需要学习一些解三角形的必要知识，今天要探究的是解三角形的第一个重要定理——正弦定理，由此展开新课的探究学习．图1推进新课新知探究提出问题[来源:学+科+网Z+X+X+K]①阅读本章引言，明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题？②回忆初中学习过的任意三角形中的边角关系，根据三角函数的定义，能否得到直角三角形中边、角量化的准确表示？③由②得到的关系式，对于锐角三角形和钝角三角形是否仍然成立？④正弦定理的内容是什么，你能用文字语言叙述它吗？你能用哪些方法证明它？⑤利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？活动：教师引导学生阅读本章引言，通过台风问题点出本章数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要，使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性．如教师可提出以下问题：怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？这些实际问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识，让学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题．关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，教师引导学生探究其数量关系．先观察特殊的直角三角形．如图2，在Rt△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，图2根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有ac＝sinA，bc＝sinB，又sinC＝1＝cc，则asinA＝bsinB＝csinC＝c.从而在Rt△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC.那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？教师引导学生画图讨论分析．如图3，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD＝asinB＝bsinA，则asinA＝bsinB.同理，可得csinC＝bsinB.从而asinA＝bsinB＝csinC.图3(当△ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成．)通过上面的讨论和探究，我们知道在任意三角形中，上述等式都成立．这就是我们今天要学习的三角形中的重要定理——正弦定理．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA＝bsinB＝csinC.上述的探究过程就是正弦定理的证明方法，即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况进行证明．教师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证明思想，同时点拨学生观察正弦定理的特征．它指出了任意三角形中，各边与其对应角的正弦之间的一个关系式．正弦定理的重要性在于非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系，描述了任意三角形中大边对大角的一种准确的数量关系．因为如果∠A＜∠B，由三角形性质，得a＜b.当∠A，∠B都是锐角，由正弦函数在区间0，π2上的单调性，可知sinA＜sinB．当∠A是锐角，∠B是钝角时，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由正弦函数在区间π2，π上的单调性，可知sinB＞sin(π－A)＝sinA，所以仍有sinA＜sinB.正弦定理的证明方法很多，除了上述的证明方法以外，教师点拨学生也可以借助于向量方法或利用初中所学的平面几何知识证明正弦定理．平面几何法：如图4，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于C′，设BC′＝2R，则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAC′＝90°，∠C＝∠C′，图4∴sinC＝sinC′＝c2R.∴csinC＝2R.同理，可得asinA＝2R，bsinB＝2R.∴asinA＝bsinB＝csinC＝2R.这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立，因此，我们得到等式asinA＝bsinB＝csinC.这种证明方法简洁明快．在巩固平面几何知识的同时，将任意三角形与其外接圆联系在一起，且引入了外接圆半径R，得到asinA＝bsinB＝csinC＝2R这一等式，其变式为a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可以更快捷地实现边角互化．特别是可以更直观看出正弦定理描述的三角形中大边对大角的准确数量关系，为正弦定理的应用带来更多的便利．向量法证明：教师可引导学生回忆思考向量知识，向量的主要作用之一是讨论几何度量问题，例如，长度和角度问题，从向量数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ，其中θ为两向量的夹角．我们知道两个向量的数量积与它们之间夹角的余弦值有联系．向量的方法为我们探索三角函数提供了一种非常重要的思想方法，我们曾用它推导了两角差的余弦公式．如用它推导正弦定理，首先需考虑通过三角函数的诱导公式sinθ＝cos(90°－θ)将正、余弦转化，这一转化产生了新角90°－θ，这就为辅助向量j的添加提供了线索．证明过程如下：(1)如图5，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于AC→，则j与AB→的夹角为90°－A，j与CB→的夹角为90°－C.图5由向量的加法原则可得AC→＋CB→＝AB→，为了与图5中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算，得到j·(AC→＋CB→)＝j·AB→，由分配律可得j·AC→＋j·CB→＝j·AB→.∴|j||AC→|cos90°＋|j||CB→|cos(90°－C)＝|j||AB→|cos(90°－A)．∴asinC＝csinA.∴asinA＝csinC.同理，可得csinC＝bsinB.∴asinA＝bsinB＝csinC.(2)如图6，△ABC为钝角三角形，不妨设A＞90°，过点A作与AC→垂直的单位向量j，则j与AB→的夹角为A－90°，j与CB→的夹角为90°－C.图6由AC→＋CB→＝AB→，得j·AC→＋j·CB→＝j·AB→，即a·cos(90°－C)＝c·cos(A－90°)，∴asinC＝csinA.∴asinA＝csinC.[来源:Zxxk.Com]同理，可得bsinB＝csinC.∴asinA＝bsinB＝csinC.(3)当△ABC为直角三角形时，asinA＝bsinB＝csinC显然成立．综上所述，正弦定理对于锐角三角形、钝角三角形、直角三角形均成立．课本上用坐标法结合向量很巧妙地证出了正弦定理，过程如下：如图7所示，以A为原点，以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系，C点在y轴上的射影为C′.图7因为向量AC→与BC→在y轴上的射影均为|OC′→|，即|OC′→|＝|AC→|cos(A－90°)＝bsinA，|OC′→|＝|BC→|sinB＝asinB，所以asinB＝bsinA，即asinA＝bsinB.同理，asinA＝csinC.所以asinA＝bsinB＝csinC.若A为锐角或直角，也可以得到同样的结论．分析正弦定理可知，应用正弦定理可解决两类解三角形问题：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边，即“两角一边问题”．这类问题的解是唯一的．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角，即“两边一对角问题”．这类问题的解有时不是唯一的，需根据实际情况分类讨论．讨论结果：①～⑤略．应用示例例1某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩〔如图8(1)〕，其一角已破损．现测得如下数据：BC＝2.57cm，CE＝3.57cm，BD＝4.38cm，B＝45°，C＝120°.为了复原，请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01cm)．(1)(2)图8活动：如图8(2)所示，将BD，CE分别延长相交于一点A.在△ABC中，已知BC的长及角B与C，可以通过正弦定理求AB，AC的长．解：将BD，CE分别延长相交于一点A.在△ABC中，BC＝2.57cm，B＝45°，C＝120°，A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋120°)＝15°.因为BCsinA＝ACsinB，所以AC＝BCsinBsinA＝2.57sin45°sin15°.利用计算器算得AC≈7.02cm.同理，AB≈8.60cm.[来源:学科网]答：原玉佩两边的长分别约为7.02cm,8.60cm.点评：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角及两角所夹的边，也是先利用三角形内角和定理求出第三个角，再利用正弦定理．(2)解三角形的实际问题中，数字计算往往较烦琐，可借助计算器或其他的计算工具.变式训练在△ABC中，(1)已知c＝3，A＝45°，B＝60°，求b；(2)已知b＝12，A＝30°，B＝120°，求a.(结果保留两个有效数字)解：(1)∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°，bsinB＝csinC，∴b＝csinBsinC＝3sin60°s