双曲线及其标准方程练习题

课时作业(十)[学业水平层次]一、选择题1．方程x22＋m－y22－m＝1表示双曲线，则m的取值范围()A．－2＜m＜2B．m＞0C．m≥0D．|m|≥2【解析】∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.【答案】A2．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()A.x29－y216＝1B.y29－x216＝1C.x29－y216＝1(x≤－3)D.x29－y216＝1(x≥3)【解析】由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴P点的轨迹方程为x29－y216＝1(x≥3)．【答案】D3．(2014·福州高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(5，0)和(－5，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为()A.x22－y23＝1B.x23－y22＝1C.x24－y2＝1D．x2－y24＝1【解析】由|PF1|·|PF2|＝2，|PF1|2＋|PF2|2＝252，⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝5，所以b＝1，故选C.【答案】C4．已知椭圆方程x24＋y23＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为()A.2B.3C．2D．3【解析】椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a＝1，c＝2，所以双曲线的离心率为e＝ca＝21＝2.【答案】C二、填空题5．设点P是双曲线x29－y216＝1上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________.【解析】由双曲线的标准方程得a＝3，b＝4.于是c＝a2＋b2＝5.(1)若点P在双曲线的左支上，则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，∴|PF2|＝6＋|PF1|＝16；(2)若点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.综上，|PF2|＝16或4.【答案】16或46．(2014·河南省洛阳高一月考)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的________．(填序号)①2；②－1；③4；④－3.【解析】设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，则c＝3，∵2a2c＝6，∴|2m－1|6，且|2m－1|≠0，∴－52m72，且m≠12，∴①②满足条件．【答案】①②7．(2014·哈尔滨高二检测)已知△ABP的顶点A、B分别为双曲线C：x216－y29＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则|sinA－sinB|sinP的值等于________．【解析】由方程x216－y29＝1知a2＝16，b2＝9，即a＝4，c＝16＋9＝5.在△ABP中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sinA－sinB|sinP＝||PB|－|PA|||AB|＝2a2c＝2×42×5＝45.【答案】45三、解答题8．求与双曲线x24－y22＝1有相同焦点且过点P(2,1)的双曲线的方程．【解】∵双曲线x24－y22＝1的焦点在x轴上．依题意，设所求双曲线为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．又两曲线有相同的焦点，∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6.①又点P(2,1)在双曲线x2a2－y2b2＝1上，∴4a2－1b2＝1.②由①、②联立，得a2＝b2＝3，故所求双曲线方程为x23－y23＝1.9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．【解】(1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k＜0时，方程为y24－x2－4k＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；(4)当0＜k＜1时，方程为x24k＋y24＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；(5)当k＞1时，方程为x24k＋y24＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．[能力提升层次]1．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a－y22＝1有相同的焦点，则a的值为()A．1B.2C．2D．3【解析】由题意知椭圆、双曲线的焦点在x轴上，且a0.∵4－a2＝a＋2，∴a2＋a－2＝0，∴a＝1或a＝－2(舍去)．故选A.【答案】A2．(2014·桂林高二期末)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A．2B．4C．6D．8【解析】不妨设P是双曲线右支上一点，在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝2，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝22，∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·12，∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴8＝4＋|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝4.故选B.【答案】B3．(2014·福建省厦门一中期末考试)已知双曲线x216－y225＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________.【解析】设F′是双曲线的右焦点，连PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝12|PF′|，又|FN|＝|OF|2－|ON|2＝5，且由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－12|PF′|＝12(|PF|－|PF′|)－|FN|＝12×8－5＝－1.【答案】－14．已知双曲线x216－y24＝1的两焦点为F1、F2.(1)若点M在双曲线上，且MF1→·MF2→＝0，求点M到x轴的距离；(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C的方程．【解】(1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，MF1→·MF2→＝0，则MF1⊥MF2，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，由双曲线定义知，m－n＝2a＝8，①又m2＋n2＝(2c)2＝80，②由①②得m·n＝8，∴12mn＝4＝12|F1F2|·h，∴h＝255.(2)设所求双曲线C的方程为x216－λ－y24＋λ＝1(－4λ16)，由于双曲线C过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线C的方程为x212－y28＝1.