随机过程期末复习题2015

随机过程期末复习题库（2015）一、填空题1.对于具有常数均值的二阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当二元函数只与有关,而与和无关。2.对于具有常数均值的二阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当二元函数只与有关,而与和无关。3.设随机变量服从泊松分布，且，则2.4.已知随机变量的二阶矩存在，且的矩母函数为，则.5.已知随机变量的二阶矩存在，且的特征函数为，则.6.设是平稳序列，其协方差函数为，请给出的均值具有遍历性的一个充分条件：．7.设是平稳过程，其协方差函数为，请给出的均值具有遍历性的一个充分条件：．8.已知平稳过程的均值，协方差函数为，则该过程的自相关函数．9.设为两个随机事件，，则0.6．10.设为二随机变量，，则2．11.已知随机变量的矩母函数为，则服从的分布是参数为的泊松分布．12.是二维正态分布，即，．13.设随机变量的数学期望均存在，则．14.为随机事件，随机变量的数学期望存在，则．15.在强度为的泊松过程中，相继事件发生的间隔时间是相互独立的随机变量，且服从均值为的同一指数分布.16.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则的分布函数为.17.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则．18.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则．解由定理3.2.3，在已知的条件下，事件发生的个时刻的条件联合分布函数与个在区间上相互独立同均匀分布的随机变量的顺序统计量的联合分布函数相同．故对，有从而，19.是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发生的时间间隔.则.解题思路：注意到与独立，且同服从参数为的指数分布即得．20.设，是速率为的泊松过程.则对于，.21.设，是速率为的泊松过程.对于，.解对于，有增量与独立22.是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发生的时间间隔.则对，.解题思路：注意到与独立，且同服从参数为的指数分布即得．23.设是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发生的时间间隔，则.24.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则.25.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则服从参数为和的分布.26.非齐次泊松过程，其强度函数为，则.解对于，有27.设是一个强度函数为的非齐次泊松过程，为过程均值函数的反函数，则随机过程是一个强度为1的泊松过程．28.事件的发生形成强度为的泊松过程，如果每次事件发生时能够以概率被记录下来，且对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独立．如以表示到时刻被记录下来的事件总数，则是一个强度为的泊松过程．29.事件的发生形成强度为的泊松过程，如果每次事件发生时能够以概率被记录下来，且对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独立．如以表示到时刻被记录下来的事件总数，则的均值函数．30.事件的发生形成强度为的泊松过程，设事件在时刻发生被记录到的概率是，若以表示到时刻记录的事件数，则计数过程是非时齐的泊松过程，的分布，31.设是一个速率为的泊松过程，并且假设在时间发生的一个事件独立于前发生的事件，并以概率计数．以记直到时间为止被计数的事件个数，则计数过程是一个强度函数为的非时齐的泊松过程．32.设是一个速率为的泊松过程，并且假设在时间发生的一个事件独立于前发生的事件，并以概率计数．以记直到时间为止被计数的事件个数，则计数过程的均值函数．33.设和是独立的泊松过程，分别具有强度和，则是具有强度的泊松过程.34.设和是独立的泊松过程，分别具有强度和．如果过程在时间发生一个事件，则这个在时间发生的事件以概率来自过程．35.设和是独立的非时齐的泊松过程，分别具有强度函数和，则是具有强度函数的非时齐泊松过程.36.设和是独立的非时齐的泊松过程，分别具有强度函数和．如果过程在时间发生一个事件，则这个在时间发生的事件以概率来自过程．37.保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程，每次要求赔付的金额都相互独立，且有相同分布，每次的索赔数额与它发生的时刻无关，表示时间内保险公司需要赔付的总金额，则随机过程是一个复合泊松过程．38.在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司．每次赔付服从均值为10000元的正态分布，则一年中保险公司的平均赔付额是240000元．解题思路：索赔次数为一速率为（次月）泊松过程，每次的赔付金额,总索赔金额为一复合泊松过程，故一年中保险公司的平均赔付额为39.设顾客以每分钟6人的平均速率进入某商场，这一过程可以用泊松过程来描述．又设表示进入该商场的第位顾客在该商场所花费的金额（单位：元），且有，且每位顾客是否买东西互不影响，也与进入该商场的顾客数无关．则该商场一天（12小时）的平均营业额为432000元．解题思路：到达顾客数为一速率为（人小时）泊松过程，每个顾客的消费金额,商场营业金额为一复合泊松过程，故该商场一天（12小时）的平均营业额为40.假设家庭以每星期的泊松速率移民到一个地区．如果每个家庭的人数是独立的，而且分别以概率取值1，2，3，4，那么在固定的5个星期中移民到这个地区的平均人数为25．解题思路：移民家庭数为一速率为（户星期）泊松过程，每个家庭的平均人数为移民人数为一复合泊松过程，故在固定的5个星期中移民到这个地区的平均人数为41.设是复合泊松过程，存在，则．42.设是复合泊松过程，，则．43.在任意给定的一天，加里的心情或者是快乐的(cheerful，C)，或者是一般的(so-so，S)，或者是忧郁的(glum，G).如果今天他是快乐的，则明天他分别以概率0.5，0.4，0.1是C，S，G．如果今天他感觉一般，则明天他分别以概率0.3，0.4，0.3为C，S，G．如果今天他是忧郁的，则明天他分别以概率0.2，0.3，0.5为C，S，G．以记加里在第天的心情，则马尔可夫链的状态空间，，，一步转移概率矩阵.44.假设明天下雨的机会只依赖于前一天的天气条件，即今天是否下雨，而不依赖过去的天气条件．再假设如果今天下雨，那么明天下雨的概率为；如果今天没有下雨，那么明天下雨的概率为．以记第天的天气情况，则马尔可夫链的状态空间下雨，不下雨，一步转移概率矩阵.45.的概率解释是：为从出发经步首次到达的概率.46.的概率解释是：从出发，经有限步首次到达的概率.47.设系统有三种可能状态.“1”表示系统运行良好，“2”表示运行正常，“3”表示系统失效.以表示系统在时刻的状态，并设是一马尔可夫链.在没有维修及更换条件下，其自然转移概率矩阵为则系统初始处于运行良好状态，在内运行的概率为.解题思路：系统初始处于运行良好状态，在时刻1失效的概率为：系统初始处于运行良好状态，在时刻2失效的概率为：故系统在内运行的概率为48.设系统有三种可能状态.“1”表示系统运行良好，“2”表示运行正常，“3”表示系统失效.以表示系统在时刻的状态，并设是一马尔可夫链.在没有维修及更换条件下，其自然转移概率矩阵为则系统初始处于运行正常状态，在内运行的概率为.解题思路：系统初始处于运行正常状态，在时刻1失效的概率为：系统初始处于运行正常状态，在时刻2失效的概率为：故系统在内运行的概率为49.如果，则0；反之亦然.50.如果，则0；反之亦然.51.如果，则对，有0.52.状态是周期的，且周期为，则对，当不能被整除时，使0.53.如果状态是常返的，则0.54.如果状态是零常返的，则从出发再回到的平均回转时间.55.如果状态是正常返的，则从出发再回到的平均回转时间.56.马尔可夫链从出发到达的平均次数为.57.状态是常返的充要条件是.58.状态是非常返的充要条件是.59.为从状态出发经有限步返回的概率．如果，则.60.设马氏链的一步转移概率矩阵，步转移概率矩阵，二者之间的关系为.61.设为马尔可夫链，状态空间，初始分布为，的概率分布为==(=),，步转移概率矩阵()=，三者之间的关系为.二、单选题1.下面的随机过程中不一定是二阶矩过程的是（A）A.严平稳过程B.宽平稳过程C.正态过程D.泊松过程2.设与分别是事件与是否发生的示性函数，即若发生若不发生，若发生若不发生如果，则（C）是不正确的.A.B.C.D.解题思路：注意到：，；，，以及即得.3.设与分别是事件与是否发生的示性函数，即若发生若不发生，若发生若不发生如果，则（C）是不正确的.A.B.C.D.4.对于任意两个随机变量和，若，则(B).A、B、C、和独立D、和不独立5.已知标准正态分布随机变量的矩母函数为，则的矩母函数（A）.A.B.C.D.6.已知参数为的泊松随机变量的矩母函数为，设与分别是以和为参数的独立的泊松随机变量，则的矩母函数(B).A.B.C.D.7.已知是维纳过程，则下面错误的是(B).A.是独立增量过程B.是平稳过程C.是平稳增量过程D.是正态过程8.(A)的有限维分布关于时间是平移不变的.A.严平稳过程B.宽平稳过程C.平稳增量过程D.独立增量过程9.设是泊松过程，下述结论不正确的是（B）.A.是平稳独立增量过程B.宽平稳过程C.是独立增量过程D.二阶矩过程10.设是泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则下面正确的是(B).A.B.C.D.11.设是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发生的时间间隔，表示第个事件发生的时刻，，则下面正确的是(B).12.设是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发生的时间间隔，表示第个事件发生的时刻，，则下面错误的是(D).解题思路注意到在条件下，对，有且在条件下，服从上的均匀分布，故有＝13.设是强度函数为的非齐次泊松过程，则下面错误的是(D).服从参数为的泊松分布．14.设是强度函数为的非齐次泊松过程，则下面错误的是(B).是独立增量过程；是平稳增量过程；是一个泊松随机变量．15.设和是独立的非时齐的泊松过程，分别具有强度函数和．如果过程在时间发生一个事件，则这个在时间发生的事件是来自过程的概率为(A).16.设是复合泊松过程，，则下面说法错误的是(B).A.B.C.D.17.设马尔可夫链的状态空间为有限集，则下列说法一定正确的是(D).A.所有状态都是遍历状态B.所有状态都是非常返状态C.所有状态都是正常返状态D.没有零常返状态18.设马尔可夫链的状态空间为有限集，则下列说法一定正确的是(C).A.所有状态都是遍历状态B.所有状态都是非常返状态C.一定存在常返状态D.所有状态都是正常返状态19.设马尔可夫链的状态满足，表示从状态出发再回到状态的平均回转时间，若，称为(C).A.遍历状态B.非常返状态C.正常返状态D.零常返状态20.设Markov链的状态空间为，转移概率矩阵为：按状态互通关系，该链的状态可分为以下等价类(B)．A.和B.，和C.，和D.，和21.设Markov链的状态空间为，转移概率矩阵为：则该链的状态分类为(A)．A.1和2都是遍历状态，3和4是非常返状态；B.1和2都是遍历状态，3和4是零返状态；C.1和2都是零常返状态，3和4是正常返状态；D.1和2都是非常返状态，3和4是遍历状态．三、判断题1.设与为二随机变量，且与独立，则＝.()2.设与为二随机变量，且与独立，则＝.()3.设与为二随机变量，则关于的条件期望是的函数.()4.严平稳过程一定是宽平稳过程．()5.二阶矩存在的严平稳过程一定是宽平稳过程．()6.平稳增量过程是平稳过程．()7.宽平稳过程是平稳增量过程．()8.严平稳过程是平稳增量过程．()9.设是平稳序列，其协方差函数为，若，则的均值具有遍历性．()10.设是平稳过程，其协方差函数为，若，则的均值具有遍历性．()11.平稳过程的均值具有遍历性．()12.平稳过程的均值函数和方差函数均为常数．()13.对于严平稳过程而言，有限维分布关于时间是平移不变的．()14.平稳独立增量过程的均值函数一定是时间的线性函数．()15.随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述．()16.设是一计数过程，表示第个事件与第个事件发生的时间间隔.如果是独立且参数同为的指数随机变量，则是强度为的泊松过程.()17.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻.在的