大学数学概率篇之随机变量及其分布——随机变量函数的分布.

§2.5随机变量的函数的分布二.连续型随机变量函数的分布一.离散型随机变量的函数三.小结思考题随机变量的函数设X是一随机变量，Y是X的函数，即XgY，则Y也是一个随机变量。当X取值x时，Y取值xgy。已知随机变量X的分布和函数关系式XgY，求随机变量Y的分布。本节任务：),2,1(npxXPnn,,,,21nyyy,2,1),(nxgynn设X是离散型随机变量，其分布律为X1x2x，nxP1p2p，np一离散型随机变量的函数或Y是X的函数XgY，则Y也是离散型随机变量，它的取值为其中如果,,,,21nyyy两两互不相同，),2,1(}{}{nxXPyYPnn),2,1(}{npyYPnnY1y2y，nyP1p2p，np由随机变量Y的分布律或第一种情形如果,,,,21nyyy有相同的项则把这些相同的项合并（看作是一项），并把相应的概率相加，即可得到随机变量)(XgY的分布律。第二种情形X-3-10269P25212525252152523525270252126【例1】设离散型随机变量X的分布律为随机变量32XY，求Y的分布律。，，，，，，1591359Y-9-5-31915P25212525252152523525270252126随机变量32XY的取值为解这些取值两两互不相同随机变量32XY的分布律为Y的取值为0，1，4.所以,P{Y=0}=P{X=1}=0.1,【例2】且Y=0对应于(X-1)2=0，解得X=1，设随机变量X具有以下的分布律，pkX-10120.20.30.10.4求2)1(XY的分布律.解P{Y=1}=P{Y=4}=pkY0140.10.70.2所以，Y=(X-1)2的分布律为：pkX-10120.20.30.10.42)1(XYP{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7,P{X=-1}=0.2,，其密度函数为是一连续型随机变量，设xfXX随机变量．也是连续型，我们假定的函数是再设YXXgY．的密度函数求的是yfXgYY二.连续型随机变量函数的分布的分布函数⑴．先求XgY的密度函数求关系之间的的分布函数与密度函数⑵利用XgYXgY,yFYyFyfYYyYPyXgPyxgXdxxf)()(解题思路.,0,40,8)(其它xxXfX【例3】设随机变量X具有概率密度：试求Y=2X+8的概率密度.解：(1)先求Y=2X+8的分布函数FY(y)：}{)(yYPyFY}82{yXP}28{yXP28.)(yXdxxf可以求得：利用)()()2(yfyFYY)(yfY28.)(yXdxxf)(yFY.,0,4280,21)28(81其它yy)28()28(yyfX.,0,40,8)(其它xxXfX.,0,168,328)(其它yyyfY整理得Y=2X+8的概率密度为：本例用到变限的定积分的求导公式).()]([)()]([)(,)()()()(xxfxxfxFdttfxFxx则如果)()]([)(,)()()(xxfxFdttfxFxa则如果说明),(xfX解：(1)先求Y=X2的分布函数FY(y)：.0)(0,0120yFyXYY时故当由于,020时当y【例4】设随机变量X具有概率密度求Y=X2的概率密度.,x}{)(yYPyFY}{yXyP}{2yXPyyXdxxf.)(得：及变限定积分求导公式利用)()()2(yfyFYY)(yfY)(yFYyyXdxxf.)(,0),()([21yyfyfyXX.0y00y.0)(0yFyY时.0,0,0,21)(221yyeyyfyYX~N(0,1),其概率密度为：.,21)(22xexx则Y=X2的概率密度为：说明称Y为自由度为1的2分布)(yfY,0),()([21yyfyfyXX.0y0定理则Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为.,0,|,)(|)]([)(其它yyhyhfyfXY其中h(y)是g(x)的反函数，即)()(1yhygx函数)(xgy是严格单调函数设随机变量X具有概率密度,,)(xxfX又设函数)(xg处处可导，且有0)(xg(或)0)(xg)此时仍有：或恒有上恒有在设以外等于零，则只须假在有限区间若),0)((0)(],[],[)(xgxgbabaxf)}.(),(max{)},(),(min{bgagbgag这里.,0,|,)(|)]([)(其它yyhyhfyfXY)}.(),(max{)},(),(min{gggg证明：yhXPygXPyFY1因此，yhXdxxf，的分布函数为设随机变量yFXgYYyXgPyYPyFY则有加的函数．是严格增，则由题设，不妨假设xgxg0上变化．，在区间随机变量上变化时，，在区间由题设，当随机变量YX其中，gggg，，，maxminyhXYdxxfyF时，，当因此，yyhXYdxxfdydyFyf所以，yhXYdxxfdydyFyf所以，时，，当因此，y是严格减少的函数．，则若xgxg0yhXdxxfyXgPyYPyFYyhXPygXP1yhyhfXyhyhfXyhyhfX的密度函数为综上所述，得XgYyhyhfX其它0yyhyhfyfXY．的密度函数随机变量，试求，，设随机变量yfYeYNXYX2~解：的密度函数为，知题设由Xxexfx22221【例5】上变化．，在区间，上变化时，在区间并且当随机变量0XeYX,严格增加函数为xey．它的反函数为yxln时，，所以，当0yyyfyfXYlnlnyy12lnexp21220002lnexp2122yyyyyfY的密度函数为随机变量XeYX的概率密度为：.,21)(222)(xexfxX【例6】证,)(baxxgy,)(abyyhxy的反函数为：满足定理的条件，,)(axg.1)(ayh|)(|)]([)(yhyhfyfXY.)(,~2abaNbaXY即有222)(21||1abyea)(||1abyfaX.||2122)(2)]([abayea设随机变量),(~2NX,证明X的函数)0(abaXY也服从正态分布.均匀分布，试求电压V的概率密度.上服从在区间是一个随机变量相角是一个已知的正常数其中设电压2,2,,,sinAAV解：）上恒有，在（22,sin)(Agv【例7】,0cos)(Axg,1)(22vAvh以及,arcsin)(Avvh且有反函数的概率密度为：.,0,22,1)(其它f.,0,|,)(|)]([)(:其它利用定理的结论yyhyhfyfXY,1)(22vAvh.,0,,11)(sin22其它的概率密度为：得AvAvAyfAVY三小结1.离散型随机变量函数的分布律2.连续型随机变量函数的概率密度函数（分为函数值两两互不相同和有相同的项两种情况）直接求；或者如果是单调函数，应用定理求．的密度函数试求随机变量，，的密度函数为随机变量设yfYXYxfXYX解：yFYyFXYX的分布函数为，随机变量的分布函数为设随机变量yYPyFYyXP则若⑴,0yyYPyFYyXPP0则若⑵,0yyXyPyYPyFYyXPyFyFXX的分布函数为综上所述，得随机变量Y000yyyFyFyFXXY的密度函数为对上式求导，可得XY000yyyfyfyfXXY