牛顿莱布尼兹公式.

二、积分上限的函数及其导数三、牛顿–莱布尼兹公式一、引例第二节机动目录上页下页返回结束微积分的基本公式第五章一、引例在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数之间有关系:)()(tvts物体在时间间隔内经过的路程为)()(d)(1221TsTsttvTT这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性机动目录上页下页返回结束？！()d()()bafxxFbFa()()Fxfx其中！机动目录上页下页返回结束二、积分上限函数及其导数()xafxdx()xaftdt()().xaxftdt积分上限函数设函数在上连续，[,]ax上连续，因此()fx[,]ab[,]ab上任意一点，()fx则是存在。)(xfyxbaoyx记x设是(变上限函数))(xfyxbaoy)(xxhx二、积分上限函数及其导数则变上限函数xattfxd)()(证:,],[,bahxx则有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f()xxhhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x机动目录上页下页返回结束定理1.若[,],xab设[,]ab在上可导，..,()()iexfx说明:1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:)(d)(ddxattfx)()]([xxf同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.机动目录上页下页返回结束)()(d)(ddxxttfx)()]([)()]([xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx()()()ftxx如果连续，可导，可导，则(()d)'()xafttfx机动目录上页下页返回结束2sin1xxdtdtdx21sincos21xxxx2sin1?xxdxdxdxsin0()xdxftdtdxsin0()xxftdtsin0((sin))cosxftdtfxxx)sin(2cosxex例1.求解:原式0limx00x2e21说明目录上页下页返回结束例2.确定常数a,b,c的值,使解:.0b原式=c≠0,故.1a又由～,得.21cttftxfxd)()(0例3.证明在内为单调递增函数.证:20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0只要证0)(xF机动目录上页下页返回结束20d)(ttfxxfx)()()(xf)0(x机动目录上页下页返回结束证0()2()1,xFxxftdt()2()0,Fxfx()1,fx(0)10,F10(1)1()Fftdt10[1()]ftdt0,令设在上连续，且。证明()fx[0,1]()1fx例02()1xxftdt在上只有一个根。[0,1]()[0,1]Fx在上连续，单调增加。[0,1]所以原方程在上只有一个根。三、牛顿–莱布尼兹公式)()(d)(aFbFxxfba(牛顿-莱布尼兹公式)机动目录上页下页返回结束证:根据定理1,故CxxfxFxad)()(因此)()(d)(aFxFxxfxa得记作定理2.函数,则(微积分基本公式)人物更多简介参见P77(SCU)牛顿(IsaacNewton,1642-1727)，英国数学家，物理学家，微积分的奠基人。牛顿关于微积分学的最早公开表述是在1687年出版的巨著《自然哲学之数学原理》中。莱布尼兹(GottfridWilhelmLeibniz，1646-1716)，德国数学家，微积分的另一奠基人。牛顿-莱布尼兹公式最早出现在莱布尼兹1677年的一篇手稿中。例4.计算解:xxxarctan1d31213)1arctan(3arctan3127例5.计算正弦曲线的面积.解:0dsinxxAxcos01[]12)4(机动目录上页下页返回结束yoxxysin机动目录上页下页返回结束例求20(2cossin1).xxdx原式202sincosxxx3.2解机动目录上页下页返回结束例求222max{,}.xxdx解由图形可知2()max{,}fxxx222001,12xxxxxx01222201xdxxdxxdx原式11.2xyo2xyxy122第三节目录上页下页返回结束例4.求cossin,04sincos,42xxxxxx解:/2/4|sincos|xx20|sincos|xxdx/4/20/4(cossin)(sincos)xxdxxxdx(sincos)xx/40(cossin)xx2(21)例6.汽车以每小时36km的速度行驶,速停车,解:设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度)(10sm)(sm3600100036刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为20d)(ttvs20d)510(tt22510tt(m)1002刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度机动目录上页下页返回结束车到停车走了多少距离?内容小结,)()(,],[)(xfxFbaCxf且设则有2.微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理))((abF)()(aFbF微分中值定理))((abf牛顿–莱布尼兹公式1.变限积分求导公式公式目录上页下页返回结束()d()|()()bbaafxxFxFbFa作业第三节目录上页下页返回结束习题册补充题解：1.设求定积分为常数,,d)(10axxf设bxxf20d)(,则故应用积分法定此常数.机动目录上页下页返回结束2.求解：的递推公式(n为正整数).由于,dsin)1(2sin201xxxnIn因此1nnII20d)12cos(2xxn20dsinsin)12cos(2xxxxn12)1(21nn1nnII所以其中机动目录上页下页返回结束