弹性力学讲义-例题3-b

例题（第3章）例题3-1（见§3-1）试考察应力函数在图3-1所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）。3ay图3-1xyxPe解:首先考察给定的应力函数Φ是否满足相容方程。代入后满足，说明该函数可作应力函数。当体力不计时，将Φ代入应力分量公式可得：0244224444yyxx00,622222yxxayyxyyx当时，考察左、右两端的分布情况：左端右端应力分布如图所示，当时应用圣维南原理能解决各种偏心拉伸的问题。因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载P的偏心距为e。则：,6e0,61,06)(2hheFPbhPebhPAx0)(,6)(,0)(0)(,6)(,0)(00000lxxyhylxxylxxxxyhyxxyxxahahx0ahl例题3-2（习题3-7）设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，图3-2，试用应力函数求解应力分量。332DxyCyByAxy图3-2解:本题是较典型的例题,已经给出了应力函数Φ,可按下列步骤求解。1.将Φ代人相容方程,显然是满足的。2.将Φ代入应力关系式,求出应力分量)3(,0,6622DyADxyCyBxyyx3.考察边界条件:主要边界y=±h/2上,应精确满足式(2-15),043,0)(,0)(22/2/DhAhyxyhyy得满足；在次要边界x=O上,只给出了面力的主矢量和主矩,应用圣维南原理,用三个积分的边界条件代替。注意x=O是负x面,图3-5中表示了负x面上σx和τxy的正方向,由此得。，）解出），（由式（。得求得求得332/2/032/2/02/2/022341,)(;2,)(;2,)(hFDhFAbaFDhAhFdyhMCMdyyhFBFdysssshhxxyhhxxNNhhxx最后一个次要边界条件(x=l上),在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下,是必然满足的,故不必再校核。代入应力公式,得。)41(23,0,12122233hyhFxyhFyhMhFSxyySNx例题3-3（习题3-11）挡水墙的密度为ρ1,厚度为b,图3-6,水的密度为ρ2,试求应力分量。解:用半逆解法求解。1.假设应力分量的函数形式。因为在y=-b/2边界上,y=b/2边界上,所以可假设在区域内为;0y;2gxy);(yxfyy2.推求应力函数的形式。由推测Φ的形式,y。则)()()(6),(2),(2131222yfyxfyfxyfyfxxyxfxy3.由相容方程求应力函数。将Φ代得04。得得得，处都成立，必须要使上式在任意的。2324242345122414234422424414443,0;610,02;0026FyEyfdyfdIyHyGyyByAfdyfddyfdDCyByAyfdyfdxdyfdxdyfddyfdxdyfdx代人Φ,即得应力函数的解答,其中巳略去了与应力无关的一次式。4.由应力函数求应力分量。将φ代人式(2-24),注意体力，求得应力分量为0,1yxfgf。)23322()23(2),(,)26()2622(32342222322123322IHyGyyByACByAyxyxDCyByAyxyfxgxFEyHGyByAyxBAyxxfyxyyyxx5.考察边界条件:在主要边界y=±b/2上,有）（）（由上式得到得得得feIHbbGbBbAdcCBbbAIHbbGbBbACBbbAxDbCbBbAxgxDbCbBbAxgxbyxybyybyy,0)431232(,0)43(0)431232()43(2;0)((b);0)248(;0)((a);)248(;)(2342234222/232/22322/。由此得。得）（得）（得）（得）（求解各系数，由gbCgbACbAdcgDBdcgbCbAbagDbBba22332232223,2043)(,21,0)(,2124)(,214)(）（，得代入。得）（得）（又有gbGgbIAIbGbAfeHfe431604332)(,0)(2224）（，得代入。得）（得）（又有。由此得gbGgbIAIbGbAfeHfegbCgbA431604332)(,0)(23,22224223gbGgbIhgEydyFdyGbgbIdyxbbxxbbxxbbxxy222/2/02/2/0222/2/0101800,0,0,0(h),480,00，）解出），（由式（。得）（得）（得）（界条件：上，列出三个积分的边在次要边界（小边界）)80103()432(),2132(,4532332332233213322332ybbybygybbygxbybygxgxxybgxybgyxbgxyyx，得应力解答：代入应力分量的表达式已知试问它们能否作为平面问题的应力函数?解:作为应力函数,必须首先满足相容方程,例题3-4,)(),()()(42223422222EyDxyyCxyBxAxbyxCBxyxaAya将Φ代入,(a)其中A=0,才可成为应力函数;(b)必须满足3(A+E)+C=0,才可成为应力函数。04例题3-5图3-7所示的矩形截面柱体,在顶部受有集中力F和力矩M=Fb/2的作用，试用应力函数求解图示问题的应力及位移,设在A点的位移和转角均为零。23BxAx图3-7解:应用应力函数求解:(1)校核相容方程,满足。(2)求应力分量，在无体力时，得(3)考察主要边界条件,均己满足。考察次要边界条件,在y=0上,040,26xyxyBAx0,0,xyxbx满足；,0)(0yxy0,2312,2312400,2312;8,2)(;2,)(4200xyyxxyxybbyybbyybxEbFbxEbFbxbFbFAbFxdxbFBFdx）求应变分量，（因而是上述问题的解。和全部边界条件，和应力已满足了上述代入，得应力的解答，求得求得0,2312,2312400,2312;8,2)(;2,)(4200xyyxxyxybbyybbyybxEbFbxEbFbxbFbFAbFxdxbFBFdx）求应变分量，（因而是上述问题的解。和全部边界条件，和应力已满足了上述代入，得应力的解答，求得求得);(232,2312);(232,2312)5(212xfbxyyEbFvybxEbFyvyfbxxEbFuxbxEbFxuyx积分，得对由积分，得对由求位移分量。即等于常数两边分开变量，并令都代入几何方程第三式将yEbFdyydfdxxdfxvyuvuxy21243)()(,0,0022202210223283232,83)(,)(vxbxyyEbFvuyyEbFbxxEbFuvuuyyEbFyfvxxf，得代入。从上式分别积分，求出：，得到位移分量的解答代入。得得得再由刚体约束条件，vuhEbFvvhEbFuuhEbFxuhyxhyxhyx,2,0;83,0;43,00,0220,02,0再由刚体约束条件，，得代入。从上式分别积分，求出0022202210223283232,83)(,)(vxbxyyEbFvuyyEbFbxxEbFuvuuyyEbFyfvxxf。，在顶点：，得到位移分量的解答代入。得得得hEbFv0yxbxy)yh(EbFv)yh(EbFbxxEbFuv,uhEbFv,v;hEbFu,u;hEbF,xuyxhy,xhy,xhy,x22328323220830430022200220020例题3-6矩形截面的简支梁上,作用有三角形分布荷载,图3-8试用下列应力函数求解应力分量。,333533FxyExDxyyCxBxyyAx图3-8FxyExDxyyCxBxyyBxBABA33353343535,0120720由此，。得解:应用上述应力函数求解:(1)将Φ代人相容方程,。下，得求应力分量，在无体力）（)33515(,6610,62010222422333FDyCxByyBxExCxyBxyDxyxyyBxxyyx043156041530)43156(4153,0,2/2/32422422FDhBhBhCxFDhBhBhCxhyhyxy，此得值，上式均应满足，由对于任意的。）（得））考察主要边界条件（（452345126345,,2/,06345,0,2/2/33233lhqClhqBaeelhqCBhdclqEdcdlxqEChBhxlxqhycEChBhxhyhyyy，）得（）由（）（。）得（）由（。）得（）由（）（。）（得）（）（得））考察主要边界条件（（。）解出）和式（由式（），由条件（）考察小边界上的边界（hllhqFlhhlqDfbqldyxhhxxy480,1013,6)(0432/2/0：力表达式，得应力解答于是，将各系数代入应显然是满足的。，，另两个积分的边界条件,0)(0)(2/2/02/2/0hhxxhhxxydydy例题3-7矩形截面的柱体受到顶部的集中力和力矩的作用，图3-9，不计体力，试用下列应力函数求解应力分量。332DyCxyBxyAy图3-9）（。满足；）边界（考察边界条件。在主要。力下，得）求应力分量，在无体（，满足。）代入相容方程，（求解：解：应用上述应力函数aqCbBqbybyCyBDyCxyAyxyxyyx43,,0,22/)3()3(,0,66201222。得得得在次要边界bFCbBFCyByFdybMDMDyyAMydybFAFDyAyFdyxbbbbxxybbbbxxbbbbxx22/2/32/2/032/2/322/2/02/2/22/2/041,)(,)(;2,)22(,)(;,)3(,)(,0。代入，得应力解答，22326)3(21,0,1212ybFqbbFqybMxybFqbbFxyyx。）式解出）（再由（)3(21),(22bFqBbFqbCba