大学物理简程--张三慧主编第4章-功和能

1引言：前面我们研究了力的瞬时作用规律，但物体运动往往都要经过一定的时间和一定的空间，并且随着经历的时间长短，空间长度的不同，力的效果不同。2）从力对空间的积累作用出发，引入功、能的概念----能量守恒定律1）从力对时间的积累作用出发，引入动量、冲量的概念----动量定理和动量守恒定律24.1功1、元功的定义MFMdrtF一质点在力F的作用下，发生一无限小的元位移dr时，力对质点做的功dA定义为力F和位移dr的标量积。rdFcosrdFrdFdAt0/22＝/2力做正功力不做功力做负功（质点克服力做功）标量积没有方向，但有正负：32、变力沿曲线做的功QQPQLLPPAdAFdrQPrdFrdF在元位移中将力视为恒力，力沿P、Q的功为所有无限小段位移上的元功之和。元功：dA元位移：rd功的量纲：ML2T-2功的单位：焦耳，符号J11JNm71911011.610ergJeVJ4(2)力和力的作用点沿力的方向的位移，是机械功的两个不可缺少的因素。如果仅有力对物体的作用，而力的作用点没有位移，力对物体就没有作功。a)在实际问题中，物体的位移和力的作用点的位移并不是一回事，这时为计算功就必须考察力的作用点的位移。b)还要注意区别力的作用点的变更与力的作用点的位移这两种情况。例如，人走路时虽然鞋底对路面有静摩擦力作用，但是随着人的走动，受力点不断在路面上更换，而没有发生位移，所以静摩擦力不作功。（3）合力的功为各分力的功的代数和。（4）由于位移与坐标系的选择有关，故力所作的功也与坐标系的选取有关。3、功的几个概念(1)功是描述力作用于物体的空间积累效应的物理量，功是过程量，与路径有关。54、几种常见力的功（1）重力的功重力mg在曲线路径AB上的功为重力所做的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了位置的高度差。(1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。(2)质点上升时，重力做负功；质点下降时，重力做正功。结论：cosBBBgAAABABAAdAmgdrmgdrmgdhmghmghxyzOdhG②①drAB6(2)弹性力的功2122121122xxAkxdxkxkx(1)弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。(2)弹簧的变形减小时，弹性力做正功；弹簧的变形增大时，弹性力做负功。ˆFkxi弹簧弹性力由x1到x2路程上弹性力的功为弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变量平方之差的一半。结论:1x2xFxO7(3)摩擦力的功摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经的路径有关。Fmg在这个过程中所做的功为摩擦力F摩擦力方向：切向且与速度反向2211ASSSSFdrFds21ssNds21(s)Ns1S2SvF8保守力做功与路径无关，只决定于系统的始末位置或形状的力称为保守力。（重力、弹簧的弹力等）若力作用在物体上，物体沿闭合路径移动一周时，力做的功为零，这样的力称为保守力。证明：1212120ABAABBAABABAAAAA12ABABAAAB1295、功率（做功的快慢）A）平均功率（）NtAN在时间内力作做功tA定义：B）瞬时功率（N）dtdAtANt0limrdFdAcosFdrFvFvdtFv104.2动能定理思路：与推导动量定理和角动量定理相同，仍然由牛顿第二定律出发rFAddrtmddddm元功：将牛顿第二定律代入dmdcosdddddcosddd21()2dAdmv11()222()111()222BABABBAAAdAdmvmvmv22122kpEmvm定义动能：kdAdEABkBkAAEE动能定理：合外力对质点做功的数值等于质点动能的增量。12例：利用动能定理求解线摆下角时珠子的速率。已知珠子的质量为m。O解：运用动能定理求解珠子从A落到B的过程中，合外力对它做的功为：ABlT0vBhGcos)(rdmgrdgmrdgmTABABABAAB由于ldrd，所以：sincos0mglldmgAAB13应用动能定理，221sinmvmglsin2glvABkBkAAEEOABlT0vBhG14质点系的动能定理以三个质点组成的系统为例，所受外力、内力如图：1F2F3F3m2m1m12F32F23F31F21F13F对质点‘1’有：11KEA33KEA321321KKKEEEAAA22KEAintextkAAAE总总质点系的动能定理----所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量。对质点“2”有对质点“3”有intextKAAAE15(1)内力和为零,内力功之和可以不为零，因而可以改变系统的总动能。(2)内力改变系统的总动能,但是不能改变系统的总动量。讨论：16222211()221122kiiicicciiiiEmvmvvmvvmvmvicivvv轨道动能内动能零,kkckinEEE柯尼希定理：一个质点系相对于某一惯性系的总动能等于该质点系的轨道动能和内动能之和。即0iiiicddmvmrmrdtdt证明：对质点系中某一质点17例：一个质量15g的子弹，以200米/秒的速度射入一固定的木板内，如阻力与射入木板的深度成正比，即且求子弹射入木板的深度。xfcmN/.31005已知：smv/2000xfcmN/.31005m=15gl求=？解：以m为研究对象，建立坐标系ox，设深度为l2021lxdxdxFAllxOXlmxf0v182021lxdxdxFAllx由动能定理：12kkEEA;21201mvEk20221021mvl02kEm21046.35232100.52001015omvl1910.3势能如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末相对位置，这样的力称为保守力。BAABmghmghA重力做的功：弹力做的功：222121BAABkxkxA1、功是能量变化的量度，左面是功，右面必代表某种能量的变化。2、这种能量的变化又总是等于两个位置函数之差，故这种位置函数必代表一种决定于物体位置状态的能量----势能(或位能)。20BABppApBAAFdrEEE保守2）我们可以规定某一位置处势能为零，以便给出其它点的势能值。这个被规定的势能零点位置称为零高度或势能零点。1）由保守力做功只能确定两点之间的势能差，而不能确定某点的具体势能值；规定：保守力做功等于物体的相应势能的减少。21质点在保守力场中某点的势能，在量值上等于质点从该点移动至零势能点的过程中保守力所作的功。F1.重力势能0()dpzEmgzmgz2.弹性势能021()d2pxEkxxkxOxFxyzO0000(,,)Mxyz(,,)MxyzG22证明万有引力是保守力：122Gmmfr122cosBBABAAGmmAfdrdrr1212122BArABrABGmmGmmGmmAdrrrr12pGmmErpBpApABEEEAcoscosdrdrdr根据所以，两质点相距r时的引力势能为：得证。3、引力势能12()dprmMmMEGrGrr或23势能概念的总结：1、只有对保守力才能引入势能的概念，而且规定保守力做的功等于系统势能的减少。2、势能的具体数值要求预先选定系统的某一位形为势能零点。参考点选择不同，势能的值不同。3、势能是属于有保守力相互作用的系统整体。BABppApBAAFdrEEE保守24势能曲线（质点的势能与位置坐标的关系）：zPEO重力势能弹性势能万有引力势能PExOPErO254.6机械能守恒定律1F2F3F3m2m1m12F32F23F31F21F13FKAKBextEEAAint质点系的动能定理：consnconsAAAint,int,intKAKBconsnconsextEEAAAint,int,int,conspApBAEE)()(int,pAKApBKBconsnextEEEEAA26)()(int,pAKApBKBconsnextEEEEAA系统的动能和势能之和称为机械能，用E表示，即：pKEEE则：ABconsnextEEAAint,机械能守恒定律——质点系在运动过程中，它所受的外力的功与系统内非保守力的功的总和等于它的机械能的增量。27ABconsnextEEAAint,0extA考虑当时,即封闭系统：0int,consnA若0int,consnA若，系统的机械能增加。如炸弹爆炸（其他能量转换成机械能），系统的机械能减少。如克服摩擦力做功（机械能转换成其他能量）0int,consnA若，此时只有保守内力做功，即封闭的保守系统常量ABEE——机械能守恒定律28讨论（1）机械能守恒定律只适用于惯性系。（2）注意与动能定理的区别：动能定理给出的是动能的改变与功的关系，应考虑包括保守力在内的所有力的功；机械能守恒定律给出的是机械能（动能和势能之和）的改变与功的关系，只须考虑保守内力之外的其它力的功。ABconsnextEEAAint,ABkBkAAEE29例：利用机械能守恒定律求解线摆下角时珠子的速率。已知珠子的质量为m。第一种解法：牛顿运动定律第二种解法：动能定理解：运用机械能守恒定律求解1、选取珠子和地球作为被研究的系统。（选系统）2、分析：在珠子下落过程中，外力－拉力T不做功只有保守力－重力做功，所以系统的机械能守恒。3、列方程求解ABlT0vBhGO30例：用一个轻弹簧把一个盘悬挂起来，这时弹簧伸长。一个质量和盘相同的泥球，从高于盘处由静止下落到盘上。求此盘向下运动的最大距离。cml101cmh302ly2l1lh解：1、第一阶段：泥球自由下落过程，落到盘上时的速度为gh2v2、第二阶段：泥球和盘的碰撞过程，系统动量守恒，故碰撞后粘合在一起时的共同速度为2/ghV31y2l1lh3、第三阶段：泥球和盘共同下降。选择泥球、盘、弹簧以及地球为系统。系统机械能守恒。2212122)ll(k21kl21gl)m2(V)m2(2130l2324.7碰撞