正弦定理的三种证明

ABCcbaCBADabcABCDabc△ABC中的三个内角∠A，∠B，∠C的对边，分别用,,abc表示.正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即==sinsinsinabcABC证明：按照三角形的种类，分三种情形证明之.(1)在RtABC中，如图1-1sin=aAc，sin=bBc因此，==sinsinabcAB有因为sin=1C，所以==sinsinsinabcABC（2）在锐角△ABC中，如图1-2作CDAB于点D，有sin=CDAb，sin=CDBa，因此，sin=sinbAaB，即=sinsinabAB同理可证：=sinsinacAC，故==sinsinsinabcABC.（3）在钝角△ABC中，如图1-3作CDAB，交AB的延长线于点D，则sin=CDAb，sin=sin=CDABCCBDa因此，sin=sinbAaB，即=sinsinabAB同理可证：=sinsinbcBC故==sinsinsinabcABC综上所述，在任意的三角形中，正弦定理总是成立.ABCODACBbcaj证明：如图所示，圆O是△ABC的外接圆，半径为R连接AO并延长，交圆O于点D，连接CD，易知，=90ACD，=BDsin==2ACbDADR，即sin=2bBR因此=2sinbRB同理，延长,BOCO，可证==2sinsinacRAC故===2sinsinsinabcRABC证明：过点B作单位向量jBC，那么就有jACjABjBCcos(90)cos(90)0bCcBsinsinbCcBsinsinbcBC，同理有sinsinabAB。故==sinsinsinabcABC【小技巧】根据几何图形确定向量夹角的方法：如果两个向量所在之间直线相交，或通过平移一个向量而相交，那么（1）向量夹角为锐角，很容易判断；（2）向量夹角为钝角时，可以先判断锐角，再取补角例如：确定向量j与向量AB的夹角时，由于是钝角，先确定向量j与向量BA的夹角为90B，再求补角，即为90B确定向量j与向量AC的夹角时，先平移j，同上可得，夹角为90C