椭圆的简单几何性质3课时

椭圆的简单几何性质1椭圆的定义图形标准方程焦点坐标a,b,c的关系焦点位置的判断122(220)MFMFaacF1(-c,0)，F2(c,0)F1(0,-c)，F2(0,c)谁（分母）大（焦点）在谁上22200(,)acbacab222210xyabab222210yxabab12yoFFMx1oFyx2FMcabM复习：椭圆及其标准方程椭圆简单的几何性质范围：,122ax得：122by-a≤x≤a,-b≤y≤b椭圆落在x=±a,y=±b围成的矩形中（如图）oyB2B1A1A2F1F2cab1.观察：x,y的范围？2.思考：如何用代数方法解释x,y的范围？-a≤x≤a,-b≤y≤b一.范围二、椭圆的顶点22221(0)，xyabab在中令x=0，得y=？，说明椭圆与y轴的交点（），令y=0，得x=？,说明椭圆与x轴的交点（）。*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0,±b±a,0*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。焦点总在长轴上!三.椭圆的对称性YXOP1（-x，y）P2（-x，-y）P3（-x，-y）P（x，y）把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于()轴对称；把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于()轴对称；把(X)换成(-X),(Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆关于()对称；YX原点所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x练习：根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1B1A2B2B2A2B1A1四、椭圆的离心率ace离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：1）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁因为ac0，所以0e1[2]离心率对椭圆形状的影响：2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆3）特例：e=0，则a=b，则c=0，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）yOx标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab-a≤x≤a,-b≤y≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.(ab)cea知识归纳a2=b2+c2)0(ba，标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称长半轴长为a,短半轴长为b.(ab)cea-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2)0(baa2=b2+c2)0(ba)5,0(),5,0(21FF例题1:求椭圆9x2+4y2=36的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。椭圆的长轴长是:离心率:焦点坐标是:四个顶点坐标是:)3,0(),3,0(),0,2(),0,2(2121BBAA椭圆的短轴长是:2a=62b=435ace解题步骤：1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b：2、确定焦点的位置或长轴的位置.解：把已知方程化成标准方程19422yx例题讲解：549,2,3cba练习:求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。解：把已知方程化成标准方程1452222yx31625,4,5cba椭圆的长轴长是:离心率:6.053ace焦点坐标是:)0,3(),0,3(21FF四个顶点坐标是:)4,0(),4,0(),0,5(),0,5(2121BBAA椭圆的短轴长是:2a=102b=8例2:求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点Ｐ（-3，0）、Ｑ（0，-2）；22194xy22194xy23解：⑴方法一：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将点的坐标代入方程，求出m＝1/9,n＝1/4。所以椭圆的标准方程为方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为（2）离心率为，经过点（2,0）练习：椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．02，A分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置椭圆的标准方程为：；11422yx椭圆的标准方程为：；116422yx解：（1）当为长轴端点时，，，2a1b02，A（2）当为短轴端点时，,，2b4a02，A综上所述，椭圆的标准方程是或11422yx116422yx椭圆的简单几何性质2二.求离心率题型一：定义法例1.已知椭圆方程为+=1，求椭圆的离心率；162x82y1.直接算出a、c带入公式求eF2(c,0)xoyF1(-c,0)Pca2.几何意义：e为∠OPF2的正弦值3.已知a2、c2直接求e2变式训练：若椭圆+=1的离心率为1/2，求m的值.222cea221bea29x29ym4.已知a2、b2不算c直接求e题型二：方程法例2.根据条件，构造关于a,c,的齐次式，解出e即可。注意椭圆离心率范围是0e1F2(c,0)xoyF1(-c,0)A60°已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1=60°，求该椭圆的离心率。(2009·江西高考)过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.22B.33C.12D.13变式训练：x60°p1F2F(2010·武汉调研)如图3，已知A、B两点分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点和上顶点，而F是椭圆C的右焦点，若AB→·BF→＝0，则椭圆C的离心率e＝________.三：向量法之垂直问题椭圆+=1(ab0)的三个顶点为B1(0，-b)，B2(0，b),A(a,0),焦点F(c,0)且B1F⊥AB2,求该椭圆的离心率。变式训练22ax22byB2(0，b)B1(0，-b)A(a,0)F(c,0)xoy1.知识点：求离心率的两种常规方法：（1）定义法:求a,c或a、c的关系；（2）方程法:根据已知条件，构造关于a,c的齐次式，解出e.2.思想方法：方程的思想，转化的思想小结2.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长成等差数列，求该椭圆的离心率.巩固练习1.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为△F2PF1等腰直角三角形，求椭圆的离心率.高考链接（2012新课标全国卷）设F1和F2是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，求该椭圆的离心率。a2322ax22byF2(c,0)xoyF1(-c,0)x=3a/2P30°2c2cc2c=3a/2例：点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数，求点M的轨迹。42554xyoFMlF1l’(椭圆的第二定义)准线方程：Cxa2解：如图，设M（x,y），d是点M到直线L的距离由已知得：222,xcycaaxc22222222()().acxayaac22221(0).xyabab这是一个椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。点M（x,y）与定点F（c,0）的距离和它到定直线的距离比是常数2:alxc(0).caca求M点的轨迹。平方，化简得：222,:acb令可化得若点F是定直线l外一定点，动点M到点F的距离与它到直线l的距离之比等于常数e(0＜e＜1)，则点M的轨迹是椭圆.MFHl新知探究动画第二定义直线叫做椭圆相应于焦点F2(c，0)的准线，相应于焦点F1(－c，0)的准线方程是OxyF2F1新知探究2axc2axc2axc2axc椭圆的离心率、准线与焦半径离心率：椭圆的准线：2axc2222:1(0)yxabab思考又如何呢?ceaoxyMLL’FF’相对应焦点F（c,0），焦半径是：相对应焦点F（-c,0），焦半径是：焦半径公式：焦半径的最大值:最小值：a+ca-c椭圆+=1上一点P到右准线的距离为10,则:点P到左焦点的距离为()A.14B.12C.10D.81002x362y例2(2011·衡水中学调研卷)(1)椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝3|PF2|，则P点到左准线的距离是________．•【答案】6练习．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e＝22，点F2到右准线l的距离为2.求a、b的值；解析(Ⅰ)因为e＝ca，F2到l的距离d＝a2c－c，所以由题设得ca＝22，a2c－c＝2，解得c＝2，a＝2.由b2＝a2－c2＝2，得b＝2.例3：22594511312FxyPAPAPF已知是椭圆的左焦点，是椭圆上动点点（，）是一定点（）求的最小值2234121112FxyPAPAPF已知是椭圆的左焦点，是椭圆上动点点（，）是一定点（）求的最小值练习1.若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则:离心率e=______2离心率e=,且两准线间的距离为4的椭圆的标准方程为____________223.若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则:中心到准线的距离为()A.B.C.D.5585543383344.离心率e=,一条准线方程为x=-53325求标准方程椭圆的简单几何性质3直线与椭圆的位置关系分类:相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)直线与椭圆的位置关系的判定代数方法222201AxByCxyab由方程组20(0)mxnxpm24nmp△=0△0△=0△方程组有两解两个交点相交方程组有一解一个交点相切方程组无解无交点相离1.位置关系：相交、相切、相离2.判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程消元得到二元一次方程组(1)△0直线与椭圆相交有两个公共点；(2)△=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点；(3)△0直线与椭圆相离无公共点．通法知识点1.直线与椭圆的位置关系例1：直线y=x+1与椭圆恒有公共点,求m的取值范围。1522myx题型一：直线与椭圆的位置关系变式练习：y=kx+1与椭圆恰有公共点，则m的范围（）A、（0，1）B、（0，5）C、[1，5）∪（5，+∞）D、（1，+∞）1522myx练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?练习2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线交点情况满足()A.没有公共点B.一个公共点C.两个公共点D.有公共点22194xyD6k366kk-3366-k33当=时有一个交点当或时有两个交点当时没有交点分析:设00(,)Pxy是椭圆上任一点,试求点P到直线45400xy的距离的表达式.000022454045404145xyxyd且22001259xy尝试遇到困难怎么办?作出直