4.1(随机变量的数学期望)

第4章随机变量的数字特征4.1随机变量的数学期望4.2方差4.3协方差及相关系数、矩第四章随机变量的数字特征随机变量的概率分布能够完整地描述随机变量的概率性质.但是这还不足以给人留下直观的总体印象.有时不需要去全面考察随机变量的整体变化情况，只需知道随机变量的某些统计特征就可以了．例如，在检查一批棉花的质量时，只需要注意纤维的平均长度，以及纤维长度与平均长度的偏离程度．再如，在评定一批灯泡的质量时，主要看这批灯泡的平均寿命和灯泡寿命相对于平均寿命的偏差．从这两个例子可以看到，某些与随机变量有关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但却可以概括描述它在某些方面的特征．这些能代表随机变量主要特征的数字，称为随机变量的数字特征．本章介绍随机变量的几个常用数字特征：数学期望、方差、协方差和相关系数．第四章随机变量的数字特征【分赌本问题】1654年法国有个职业赌徒DeMéré向数学家Pascal提出了一个使他苦恼了很久的问题：甲乙两人各出赌注50法郎进行赌博，约定谁先赢3局，就赢得全部的100法郎，假定两人赌技相当，且每局无平局．如果当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌局，问如何分100法郎的赌注才算公平？第四章随机变量的数字特征4.1随机变量的数学期望4.1.1数学期望的概念1.离散型随机变量的数学期望【引例】某年级有100名学生，17岁的有20人，18岁的有30人，19岁的有50人，则该年级学生的平均年龄为事实上,平均年龄是以频率为权重的加权平均值．1005019301820173.181005019100301810020174.1.1数学期望的概念【例4.1】（掷骰子游戏）规定掷出1点得1分；掷出2点或3点得2分；掷出4点、或5点、或6点得4分,共掷n次.投掷一次所得的分数X是一个随机变量.则X的分布律为试问：预期平均投掷一次能得多少分？解：若在n次投掷中，得1分的共n1次，得2分的共n2次，得4分的共n3次,则平均投掷一次得分为：nxnxnxn33221131iiinnx31iiipxX124pi1/62/63/6617634622611随机变量X的以概率为权重的加权平均值4.1.1数学期望的概念对于一般的离散型随机变量，有如下定义：定义4.1设离散型随机变量X的分布律为P{X=xi}=pi，i=1，2，…．若级数绝对收敛，则其称为随机变量X的数学期望或均值．记为E(X)或EX，即若级数发散，则称随机变量X的数学期望不存在．1iiipx1)(iiipxXE1)(iiipxXE4.1.1数学期望的概念说明：(1)随机变量X的数学期望E(X)是一个常量，它是从概率的角度来计算随机变量X所有可能取值的平均值，具有重要的统计意义．(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变．4.1.1数学期望的概念【例4.2】某一彩票中心发行彩票10万张，每张2元．设头等奖1个，奖金1万元，二等奖2个，奖金各5千元；三等奖10个，奖金各1千元；四等奖100个，奖金各100元；五等奖1000个，奖金各10元．每张彩票的成本费为0.3元，请计算彩票发行单位的创收利润．解：设每张彩票中奖的数额为随机变量X，则有其中p0=1–(1/105+2/105+10/105+100/105+1000/105)0.98887X1000050001000100100pi1/1052/10510/105100/1051000/105p04.1.1数学期望的概念每张彩票平均能得到的奖金为:每张彩票平均可赚：2–0.5–0.3=1.2(元)，彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为:1000001.2=120000(元)．)(5.00102500010110000)(055元pXE4.1.1数学期望的概念【例4.3】设随机变量X服从二项分布B(n，p)，求它的数学期望．解：由于,k=0,1,2,…,n．因而knkknppCkXP)1(}{nkknkknppCnp1)1()1(111)1(nkknkknnkppkCkXkPXE00)1(}{)(10)1(1)1(nkknkknppCnpnpppnpn1)1(11knknCknC由于)(XE所以4.1.1数学期望的概念【例4.4】设随机变量X服从参数为（0）的泊松分布，求它的数学期望．解：由于，k=0，1，2，…，因而ekkXPk!}{0}{)(kkXkPXE1)!1(kkek11)!1(kkke0!kkkeee0!kkekk4.1.1数学期望的概念2.连续型随机变量的数学期望定义4.2设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分绝对收敛，则称其为X的数学期望或均值．记为E(X)或EX，即若积分不收敛,则称X的数学期望不存在.dxxxf)(dxxxfXE)()(dxxxf)(4.1.1数学期望的概念著名的柯西分布是数学期望不存在的经典例子：设随机变量X服从柯西分布，其概率密度为由于积分发散，因而E(X)不存在．)1(1)(2xxf022)1(2)1(||)(xxdxxdxxdxxxf4.1.1数学期望的概念【例4.5】某种化合物的pH值X是一个随机变量，它的概率密度是求pH值X的数学期望E(X).解：.02.44)2.4(2548.3)8.3(25)(其它，，，，，xxxxxfdxxxfXE)()(2.4448.3)2.4)(25()8.3(25dxxxdxxx44.1.1数学期望的概念几个常用连续型随机变量的数学期望都是存在的，下面来计算它们的数学期望．【例4.6】设随机变量X服从(a，b)上的均匀分布，求E(X)．解：由于均匀分布的概率密度为dxxxfXE)()(其它,0,1)(bxaabxfbadxabx2)(222baabab4.1.1数学期望的概念【例4.7】设随机变量X服从参数为（0）的指数分布，求E(X)．解：由于指数分布的概率密度为因而其它,00,1)(/xexfxdxxxfXE)()(0/1dxexx0/xxde0/0/dxeexxx0/xe4.1.2随机变量函数的数学期望在实际中,我们常需求随机变量函数的数学期望.如果我们知道X的概率分布，如何计算X的某个函数Y=g(X)的数学期望？当然,可以通过X的概率分布求出Y=g(X)的概率分布,然后再用数学期望的定义计算E(Y)即Ｅ[g(X)].是否可以不通过求Y=g(X)的概率分布，而根据X的概率分布直接求得Y=g(X)的数学期望呢？答案是肯定的，我们不加证明地给出以下定理：4.1.2随机变量函数的数学期望定理4.1设Y为随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数).(1)设X是离散型随机变量，其分布律为若级数绝对收敛,则(2)设X是连续型随机变量,其概率密度为f(x)，若积分绝对收敛，则可见，求Ｅ[g(X)]时，不必知道Y=g(X)的概率分布，只需知道X的概率分布就可以了．,2,1,}{kpxXPkk1)(kkkpxg)]([)(XgEYE1)(kkkpxgdxxfxg)()()]([)(XgEYEdxxfxg)()(4.1.2随机变量函数的数学期望【例4.8】设随机变量X的分布律为求E(2X–1)，E(X2)．解：E(2X–1)=[2(–1)–1]0.1+[20–1]0.2+[21–1]0.4+[22–1]0.3=0.8．E(X2)=(–1)20.1+020.2+120.4+220.3=1.7．X–1012pi0.10.20.40.34.1.2随机变量函数的数学期望【例4.9】某矿物的一个样品中含有杂质的比例为X，其概率密度为一个样品的价值（以元计）为Y=5–0.5X，求E(Y).解：其它,010,23)(2xxxxf102)23)(5.05(dxxxx)5.05()(XEYEdxxfx)()5.05()(65.4元4.1.2随机变量函数的数学期望将定理4.1推广到二维随机变量的情形．定理4.2设Z是随机变量X，Y的函数Z=g(X，Y)，g是连续函数．(1)若(X，Y)是二维离散型随机变量，其分布律为则有（设该级数绝对收敛）(2)若(X，Y)是二维连续型随机变量，其概率密度为，则有（设该积分绝对收敛）,,2,1,,},{jipyYxXPijji11),(jijjiipyxg)],([)(YXgEZE),(yxfdxdyyxfyxg),(),()],([)(YXgEZE4.1.2随机变量函数的数学期望【例4.10】一餐馆有三种不同价格的快餐出售，价格分别为7元，9元，10元．随机选取一对前来进餐的夫妇，以X表示丈夫所选的快餐的价格，以Y表示妻子所选的快餐的价格，又已知X和Y的联合分布律为(1)求min(X,Y)的数学期望；(2)求X+Y的数学期望．YX791070.050.050.1090.050.100.351000.200.104.1.2随机变量函数的数学期望解：(1)E[min(X,Y)](2)E(X+Y)3131),min(jiijjipyx10.02035.01910.01720.01910.01805.01601705.01605.01410.01035.0910.0720.0910.0905.070705.0705.07元）(6.8元）(25.18YX791070.050.050.1090.050.100.351000.200.104.1.2随机变量函数的数学期望【例4.11】设(X，Y)的概率密度为求E(X)，E(Y)，E(X+Y)，E(X2+Y2)．解：由于f(x，y)的非零区域为D:0x2,0y1其它,010,20,3/)(),(yxyxyxfDdxdyyxxfXE),()(20103dydxyxx,91120)12(61dxxxDdxdyyxyfYE),()(,9163)(),()()(2010DdxdyyxyxdxdyyxfyxYXE6133)(),()()(2010222222dxdyyxyxdxdyyxfyxYXED,95)23(18120dxx20103dydxyxy4.1.3数学期望的性质(1)设c是常数，则有E(c)=c．(2)设X是随机变量，c是常数，则有E(cX)=cE(X)，E(X+c)=E(X)+c．(3)设X，Y是随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)．（该性质可推广到有限个随机变量之和的情形）(4)设X，Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)．（该性质可推广到有限个随机变量之积的情形）4.1.3数学期望的性质下面仅就X为连续型随机变量的情形给出(2)(3)(4)的证明，离散型情形类似可证．(2)设X是随机变量，c是常数，则有dxxcxfcXE)()(dxxfcxcXE)()()()(XcEdxxxfc)(dxxfcXE)()(cXE)(dxxcfdxxxf)()(4.1.3数学期望的性质(3)(4)若X和Y相互独立,则f(x，y)=fX(x)fY(y)