初一下册多边形及其内角和培优

南昌迅捷教育张奕彬老师整理187791536387.3多边形及其内角和例01．已知：一个多边形的内角和是1800，求这个多边形的边数.解答：设这个多边形的边数为n，根据题意，得1800180)2(n.102n，12n说明：本题考查多边形的内角和定理，解题关键是设边数为n，根据多边形内角和定理及已知条件列出关于n的方程.例02．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，求此多边形的边数.解答：设此多边形的边数为n.则2360180)2(n∴6n答：这个多边形是六边形.说明：本题考查了多边形的内角和、外角和定理，解题关键是设边数为n，列出关于n的方程.例03．已知：如图，求GFEDCBA的度数.解法1：∵3602DCB，36031FE，∴720321FEDCB∵18032，GA1，∴540180720GFEDCBA解法2：连结BF，则540GFBEFGEDCABCABF∵GAGFBABF∴540GEFGDCABCA说明：求复杂图形的角度时，要善于利用三角形和四边形.例04．多边形的内角中最少应有（）锐角.A．1个B．2个C．3个D．没有错解：选A.正解：选D.说明：错解中没有考虑当多边形为四边形时，四个内角可以都为直角，故没有锐角.例05．如图，已知六边形ABCDEF中，120FEDCBA.求证：EDEFBCAB.证明：向两方分别延长AB、CD、EF，如图，得PQR.∵60120180180BAFPAF.同理60AFP∴60P∴AFPPAFP∴PAF为等边三角形.同理，BCQ、DER均为等边三角形.∴PQR也为等边三角形.南昌迅捷教育张奕彬老师整理18779153638∴REDEBQBCPRAPPRPQ,,,∴PFRPPAPQ即FRAQREFEBQAB∴EDEFBCAB说明：本题的解题关键是作辅助线，构成等边三角形.例06．已知：一个四边形的四个内角的比为3:3:2:1，求它的四个内角的度数.分析：若设四边形四个内角中，最小的角为x，则另外的三个角都可以用x表示出来.因四边形的内角和是一个已知数，我们就可以得到关于x的方程，从而求出四边形的四个内角的度数.解答：设四边形的最小的角的度数为x，则另外3个度数为)2(x，)3(x和)3(x，根据题意，得360332xxxx，解得40x，∴802x，1203x即四边形的四个角度数为40，80，120和120.说明：四边形不具有稳定性，但它的内角和是固定的，等于360，所以在求解四边形的内角的过程中，内角和起着重要作用.例07．如图，已知：求FEDCBA的度数.分析：我们只知规则图形的内角之和.所以想办法把FE移到和其他几个角同一图形中，因此考虑到连结AD.所以有MDAMADFE，所以求FEDCBA就是求四边形ABCD的内角和.解答：连结AD，则在MEF和MAD中，ADMMADAMEFE.在四边形ABCD中，360CDABADCB，即360CDEADMMADBAFCB.∵360FECDEBAFCB∴360FEDCBA说明：此类型题的求法，一般是将所要求的角归纳到几个四边形和三角形中，利用四边形、三角形的性质来解，在求解过程中，不妨适当添加辅助线，使所求角处在四边形或三角形中.例08．一个多边形的每个内角度数都为150，求它的边数.分析：多边形的内角和可以通过公式180)2(n计算出来.如果知道每个内角的度数，则可由每个内角度数x角的个数来表示出来.解答：设多边形的边数为x，根据题意得，xx150180)2(，解得12x即多边形为12边形.说明：多边形的内角和常常用到，而多边形的外角和用起来往往也很方便，因为外角和是一个固定的值，它不受边数变化的影响，总是360，所以我们也能利用外角和求解.如，本题中，每个内角为150，所以空的每个外角为30.因为多边形的外角和为360，而1230360，所以它是12边形.例09．已知一个多边形共有27条对角线.求：（1）这个多边形是几边形？（2）此多边形的内角和的度数.南昌迅捷教育张奕彬老师整理18779153638分析：要求多边形的边数是多少，实际上是要求掌握对角线与边数之间的关系式，即对角线数2)3(nn，若求出了边数，内角和就容易求到.解答：（1）设边数为n，根据题意得：272)3(nn，解得9n或6n（舍）∴这个多边形是9边形.（2）∵1260180)29(，∴此多边形的内角和为1260.例10．如图，已知：四边形ABCD中，BD平分ABC.若CDAD，CBAB.求证：180CA.分析：直接证明180CA比较困难，又由BD平分CBA考虑到添加辅助线，构造与A或C相等的角.作BCBE，连结DE，则容易证出CDEB，CDDE，又由DECDAD，可知DEAA.因此可证出180CA.证明：在AB上截取BCBE，连结DE.∵BD平分ABC，∴CBDEBD.在EBD和CBD中，)()()(公共边已证已作DBDBCBDEBDCBEB∴)(SASCBDEBD∴DEBC，ADCDDE∴DEAA∵180DEBDEA∴180CA说明：对于任意多边形的问题，经常分解为若干个三角形，然后利用三角形的性质去解，这是处理四边形问题时常用的重要思路.多边形内角和定理的补充证法多边形内角和定理凸n多边形的内角和等于(n-2)180°．该定理在初中几何教材上有三种证明方法，笔者还有两种证法，现介绍给大家，以飨读者证法一如图1，在多边形外取一点P，与多边形各顶点相连结，这样点P与各顶点构成n个三角形，其中有两个三角形在多边形外部．用n个三角形内角和n·180°减去△PA4A5、△PA4A3两个三角形内角和3600,得到多边形内角和(n-2)·180°．当P点位置有所不同时，也能得到多边形内角和(n-2)·180°．南昌迅捷教育张奕彬老师整理18779153638证法二如图2，过A3、A4、A5…An分别作A1A2平行线，得到(n-3)对同旁内角，例如∠A1与∠1；∠A2与∠2；∠3与∠4等等，和两对内错角∠6与∠5；∠7与∠8；那么，多边形内角和等于(n-3)对同旁内角加上一个平角，即(n-2)·180°．如图3，若AmAm＋1∥A2A3(A6A7∥A2A3)，则过除A2，A3，A6，A7外的各顶点分别作A2A3的平行线，则图中共有(n-2)对同旁内角，如∠A2与∠1；∠2与∠A3；∠5与∠6等等．由平行线性质：两直线平行同旁内角互补，得到多边形内角和(n-2)·180°．研究多边形内角和定理的多种证法，便于培养学生的创造性思维以及独立探索精神关于“探索解决问题的方法”如何求出六边形的内角和？解决问题的方法是以任意的六边形为例，先让学生自己想办法，然后教师引导学生把六边形化归成已学过的三角形或四边形．下面提供八种求六边形内角和的方法：启发、诱导学生从不同的角度、用不同的方法主动探求六边形的内角和．在教学过程中采用个人探索、分组讨论和全班交流相结合的方法，由学生自己对六边形进行分割，得到这些图形，并由学生将它们进行分类．(应说明如何分类)巧用“规形”性质求星形角度之和南昌迅捷教育张奕彬老师整理18779153638如图1，这种图形形似圆规，我们不妨称之为“规形”．它有一条重要性质：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C．证明留给读者．本文运用这条性质来求一类星形角度和，既快又准确．例1(第三届“希望杯”初二试题)如图2，∠1＋∠2+∠3＋∠4+∠5=__．解：依“规形”性质得：∠7=∠6=∠5＋∠2+∠4．而∠1+∠3+∠7=180°，∴∠1＋∠2+∠3+∠4+∠5=180°．例2(1986年吉林省八市初中数学赛题)如图3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__．解：依“规形”性质得：∠1=∠2=∠B＋∠C＋∠D，而∠A+∠1＋∠E+∠F=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．例3(1991年北京市初二数学赛题)如图4所示的七角星形中，已知∠B=14°，∠C=15°，∠F=16°，并且∠A+∠D+∠E+∠G=k·450，则k=．解：依“规形”性质得：∠2=∠1=∠B＋∠F+∠C，∠4=∠3=∠A+∠D+∠G．而∠E+∠2+∠4=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°，∴k·450+140+150+160=180°，∴k=3．怎样应用内角和与外角和定理解题凸多边形的内角和定理“n边形的内角和等于(n－2)·180°”及其推论“任意多边形的外角和等于360°”，在几何计算中占有较重要的地位，应用内角和与外角和定理解题时，一般有如下几种情况．1．已知多边形的边数求内角和．这类问题是以计算公式为主的几何计算题，属于公式正向思维的应用，只须将已知边数n代入公式进行计算即可．〔例1〕求八边形的内角和与外角和解：当n=8时，(n－2)·180°＝(8－2)·180°＝1080°∴八边形的内角和等于1080°根据“任意多边形的外角和等于360°”，∴八边形的外角和等于360°．2．已知凸多边形的内角和求边数．这类问题也是以计算公式为主的几何计算题，属于公式的逆向思维的应用，一般先假设凸多边形的边数n为已知，代入公式以后通过解方程求解．〔例2〕已知一个凸多边形的内角和为1620°，求这个多边形的边数．解：设所求多边形的边数为n，根据题意，得(n－2)·180°=1620°，n－2=9，∴n=11．即这个多边形的边数为11．3．已知多边形的内角和、外角和之间的相依关系，求多边形的边数．这类问题需先设出多边形的边数n，再根据内角和、外角和之间的关系列出方程或不等式求解．〔例3〕已知一个凸多边形的内角和等于它的外角和的4倍，求这个多边形的边数．解：设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和定理，得这个多边形的内角和为(n－2)·180°又因为任意多边形的外角和等于360°，∴(n－2)·180°＝4·360°，n－2＝8，∴n＝10，即这个多边形的边数为10．〔例4〕一个正多边形的每一个外角都小于45°，那么这个多边形至少是正几边形．南昌迅捷教育张奕彬老师整理18779153638解：设这个正多边形的边数为n．则0036045n.45°•n＞360°，∴n＞8即这个正多边形至少是正九边形．注意：有些应用内角和、外角和定理的证明题，需具备较强的推理论证能力方能解决．〔例5〕证明：任意凸九边形中，一定有三个顶点A、B、C，使∠ABC≤20°．分析：首先确定凸九边形的内角和为(9－2)·180°＝1260°(1)当这个凸九边形的每个内角都相等时，那么每个内角的度数为0012601409.因为从这个凸九边形的任意一个内角的顶点可以引出(9－3)条对角线，这些对角线把这个角分成七个相等的角，其中每个角的度数为00140207.(2)当这个凸九边形的内角不都相等时，那么至少有一个内角的度数小于0012601409.从这个角的顶点可以引出(9－3)条对角线，这些对角线把这个角分成七个角，其中至少有一个角的度数小于00140207.由此可知，任意凸九边形中，一定有三个顶点A、B、C，使∠ABC≤20°．证明：略．