《高等代数选讲》教学大纲

《高等代数选讲》课程教学大纲一、课程说明课程代码：0741123120课程类别：专业必修课学时：72学时适用专业：数学与应用数学适用对象：本科考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。二、课程概述：本课程在数学与应用数学专业按照《代数学教学大纲》（高代部分）完成教学之后的必修课。它设想将《高等代数》中由于课时太少而未学完且实际需要的内容继续学完，以使同学的知识面更广，理论更系统，更扎实，更完备，为同学继续学习新的学科和将来作一名合格的中学教师作好理论知识的准备。本课程的主要内容有：多元多项式与对称多项式；行列式的拉普拉斯定理和乘法定理；结式和二元高次方程组的一般解法；矩阵的广其应用举例；二次型及其标准形，正定二次型及正定矩阵；线性变换的值域与核，不变子空间，若当标准形介绍，最小多项式；一矩阵及若当标准形的理论推导；子空间的正交，实对称矩阵的正交相似（合同）对角化，向量到子空间的距离和最小二乘法，酉空间介绍。三、教学目的：通过本课程的学习，进一步加深对原有知识的理解和应用，扩大同学的知识面，培养同学在学习和工作中乐于思考问题，善于提出问题和勇于寻找解决问题的方法和创新能力，提高同学的素质，为大学后继课程的学习，为愿意考研同学的考研考试，为愿意在工作中自学提高的同学的自学，也为将来在中学教学中作一名合格的教师打下坚实的基础。四、学时分配表教学内容(章)理论学时实验学时习题课其它备注第一章多元多项式8第二章拉普拉斯定理、行列式的乘法规则及二元高次方程组8第三章分块乘法与初等变换及应用举例、广义逆矩阵10第四章二次型10第五章线性变换12第六章–矩阵8第七章欧几里得空间14五、教学基本内容：第一章多元多项式（8学时）本章将一元多项式理论推广到n元多项式，并讨论一类应用较为广泛的n元多项式－对称多项式。教学要求：1．掌握两个一元多项式的最小公倍式的概念，最小公倍式与最大公因式的关系，最小公倍式的求法。2．了解n元多项式、次数、齐式等概念，运算和运算律，齐式之积仍为齐式。掌握字典排列法和首项定理，了解齐式排列法，按某一元的元次排列法及次数定理。3．掌握对称多项式、初等对称多项式的概念，对称多项式基本定理，把对称多项式表为初等对称多项式的多项式的两种常用方法：逐次消去首项法和待定系数法。了解对称多项式的一些应用。作业：补充题1、2、3教学内容：一、最小公倍式（1学时）1．《高等代数》课未讲一元多项式的最小公倍式，因此应补这方面的内容：一元多项式最小公倍式的概念，最小公倍式与最大公因式的关系，最小公倍式的求法。二、多元多项式（3学时）1．n元多项式的概念，运算和运算律。2．字典排列法和首项定理，齐式排列法和次数定理，按某一元的元次排列法。3．n元多项式函数。三、对称多项式（4学时）1．对称多项式和初等对称多项式的概念，对称多项式的性质。2．对称多项式基本定理（只证存在性，不证唯一性）3．化对称多项式为初等对称多项式的多项式的方法一：逐次消去首项法；补充方法二：待定系数法及例子。4．适当补充一些有关对称多项式的应用的例子。第二章拉普拉斯定理、行列式的乘法规则及二元高次方程组（8学时）教学要求：1．了解拉普拉斯定理是行列式按行（列）展开定理的推广，掌握拉普拉斯定理、行列式乘法定理的结论，并能利用它们计算某些行列式。2．理解结式的概念，掌握两非零多项)(xf与)(xg有非常数公因式的充要条件、解二元高次方程组的一般方法。作业：补充题1、2、3教学内容：一、拉普拉斯定理、行列式的乘法规则（4学时）1．子式与它的余子式，代数余子式，拉普拉斯定理。2．行列式的乘法定理。3．补充利用拉普拉斯定理和行列式乘法定理计算某些行列式的例子。二、二元高次方程组（4学时）1．两个非零多项式)(xf与)(xg有非常数公因式的充要条件，结式。2．结式的应用：1）补充：利用结式判别两非零多项式是否互素；复数域上两非零多项式是否有公根；复数域上次数1的多项式是否有重根。2）利用结式解二元高次方程组的一般方法。第三章分块乘法与初等变换及应用举例、广义逆矩阵（10学时）将矩阵的初等变换和初等矩阵的概念推广到分块矩阵后，它有着广泛的应用。对一般矩阵引入广义逆矩阵后，也有许多应用，本章将给出这些概念及性质，并举一些应用的例子。教学要求：1．理解广义初等变换、广义初等矩阵的概念及二者间的关系。2．掌握利用广义初等变换求逆阵，利用广义初等变换不改变矩阵的秩求矩阵的秩，利用广义消法变换不改变方阵的行列式的值计算行列式，利用广义初等变换证明有关分块矩阵的命题。3．掌握广义逆的概念、存在性、求法，理解利用广义逆给出线性方程组AX=b的解的表达式。作业：补充题1、2、3教学内容：一、分块乘法与初等变换及应用举例（6学时）1．因教材过于简单，因此必须明确给出广义初等变换的概念及性质，广义初等矩阵的概念，广义初等变换与广义初等矩阵的关系定理。2．补充：利用广义初等变换求逆阵的方法及例子，广义初等变换不改变矩阵的秩的结论及求秩的例子，广义消法变换不改变方阵的行列式的值的结论及求行列式的值的例子。二、广义逆矩阵（4学时）1．广义逆的概念、存在性、补充广义逆的求法。2．利用广义逆表示线性方程组AX＝b的解。第四章二次型（12学时）二次型的理论起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的分类，是中学相关内容的深入与提高，也是线性代数的一个主要研究对象，本章主要介绍二次型的标准形和正定二次型的判别。教学要求：1．理解二次型的概念及其矩阵表示，二次型与对称阵间的一一对应关系。掌握方阵合同的概念及性质，非退化线性替换前后二次型矩阵间的关系。2．理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的两种常用方法：“配方法”和“合同变换法”。3．了解复二次型的规范形的存在性、唯一性。掌握复数和实数上两n根对称阵合同的充要条件。4．掌握正定二次型、正定矩阵的概念及判别法。作业：补充题1、2、3、4、5教学内容：一、二次型及其矩阵表示（3学时）1．二次型及其矩阵、非退化线性替换及其矩阵，方阵的合同及其性质，非退化线性替换前后两个二次型的矩阵是合同的。2．补充：方阵的合同变换二、标准形（4学时）1．标准形、二次型基本定理，用配方法化二次型为标准形。2．补充用合同变换化二次型为标准形的方法及例子。三、唯一性（2学时）二次型的秩及其唯一性，复二次型和实二次型的规范形及其存在性、唯一性，复数域和实数域上两个n级对称阵合同的充要条件。四、正定二次型（3学时）1．正定二次型、正定矩阵的概念及若干个充要条件。2．负定二次型、半正定二次型的概念及若干个充要条件。第五章线性变换（续）（12学时）本章是线性变换内容的继续，讨论当线性变换的矩阵不能对角化时，其矩阵可简化成什么样子。教学要求：1．理解线性变换的值域与核、秩与零度的概念及相关的结论。2．掌握不变子空间的概念及判别法，理解不变子空间在线性变换的矩阵化简中的作用，了解线性空间按特征值分解成不变子空间的直和的结论。3．了解若当形矩阵的概念，掌握若当标准形的结论。4．理解最小多项式的概念及基本性质，求法。掌握应用最小多项式来判断一个矩阵能否（相似）对角化的结论。作业：补充题1、2、3教学内容：一、线性变换的值域与核（4学时）线性变换的值域、核、秩、零度及相关的结论。二、不变子空间（3学时）不变子空间的概念及判别一维不变子空间与特征向量的关系不变子空间与线性变换矩阵的化简线性空间按特征值分解成不变子空间的直和。三、若当标准形介绍（2学时）若当块和若当形矩阵关于若当标准形的结论四、最小多项式（3学时）最小多项式的概念、性质、求法，用最小多项式讨论矩阵的对角化。第六章–矩阵（8学时）本章主要内容是利用–矩阵的性质，得出复数域上方阵的若当标准形的存在性及唯一性的理论证明，同时给出求复n级矩阵的若当标准形的方法。教学要求：1．理解–矩阵、–矩阵的秩、A（）可逆等概念，了解任－非零－矩阵都可经初等变换化为标准形。2．掌握行列式因子、不变因子、初等因子的概念及它们之间的相互关系，初等因子的求法和若当标准形的求法。3．了解–矩阵可逆的充要条件和–矩阵等价的充要条件，掌握数字矩阵相似的充要条件。4．理解若当标准形的存在性及唯一性，全面地掌握这个结论。作业：补充题1、2、3、4教学内容：一、–矩阵在初等变换下的标准形（2学时）1．–矩阵–矩阵的秩–矩阵可逆及可逆的充要条件。2．–矩阵的初等变换、初等矩阵及相互关系–矩阵的等价标准形的存在性及求法。二、不变因子（1学时）行列式因子–矩阵的等价标准形的唯一性不变因子行列式因子与不变因子的关系n级–矩阵可逆的一些充要条件–矩阵等价的一些充要条件三、矩阵相似的充要条件（1学时）两数字矩阵A与B相似的充要条件四、初等因子（2学时）初等因子初等因子与不变因子的关系初等因子的求法五、若当标准形的理论推导（2学时）若当块和若当形矩阵的初等因子若当标准形的存在性、唯一性及求法。第七章欧氏空间（续）（14学时）本章是欧氏空间内容的继续教学要求：1．理解欧氏空间的子空间，子空间正交补的概念，掌握欧氏空间的“正交分解”。2．理解和掌握对称变换的概念、性质及其与实对称阵的关系，能熟练地将实对称阵“正交相似对角化”和用“特征值法”化实二次型为标准形。3．了解向量到子空间的距离，及线性方程组的最小二乘解。4．根据欧氏空间的知识，去了解酉空间相应的概念、结论和解决问题的思想方法。作业：补充题1、2、3教学内容：一、子空间（1学时）欧氏空间的子空间向量与子空间正交两子空间正交子空间正交与和是直和的关系子空间的正交补与n维欧氏空间的正交分解二、实对称阵的标准形（4学时）对称变换及性质对称变换与实对称阵的关系实对称矩阵通过正交矩阵化为标准形的定理及方法三、向量到子空间的距离、最小二乘法（3学时）两个向量间的距离及基本性质向量到子空间的距离线性方程组的最小二乘解四、酉空间介绍（2学时）酉空间向量的长度两向量的正交标准正交基柯西－布涅柯夫斯基不等式酉矩阵和酉变换厄米特矩阵和厄米特变换五.总复习（4学时）六、主要教材及教学参考书王萼芳、石生明，高等代数（第三版），北京，高等教育出版社，2003年7月。王品超，高等代数新方法（下册），江苏徐州，中国矿业大学出版社，2003年6月。苏仲阳，王玉行，高等代数方法，天津，天津科技出版社，1995年3月。王向东、周士藩，高等代数常用方法，北京，科学出版社，1989年11月。樊恽等主编，代数学辞典，武汉，华中师范大学出版社，1996年2月。