解直角三角形复习讲义

WORD格式整理专业知识分享解直角三角形复习讲义知识要点：一、直角三角形的元素（边与角）的对应关系。Eg：在Rt△ABC中，∠C=90°得：直角边：ACBC斜边：AB图形：.bac锐角：∠B∠A直角：∠C二、直角三角形的相关性质：如图（1）：在Rt△ABC中，∠C=90°1、两锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余。∠A+∠B=90°2、三边关系：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。BC2+AC2=AB2或（a2+b2=c2）变形式子：BC2=AB2-AC2，AC2=AB2-BC2……等的应用。勾股定理逆定理：如果一个三角形的两条较短边的平方和等于较长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。若：BC2+AC2=AB2或（a2+b2=c2），则：△ABC是直角三角形，且∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。4、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。5、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原来的直角三角形相似。若：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D则：△ACD∽△CBD∽△ABC对应边成比例6、射影定理：△ACD∽△ABCAC2=AD·AB△CBD∽△ABCBC2=BD·AB△ACD∽△CBDCD2=AD·DB7、边角关系：锐角三角函数（1）锐角∠A、∠B（∠A+∠B=90°）的三角函数：互余两角的三角函数关系取值范围全称简写锐角∠A的正弦sinA=斜边的对边A=cosB0＜sinA＜1Sinesin锐角∠A的余弦cosA=斜边的邻边A=sinB0＜cosA＜1Cosinecos锐角∠A的正切tanA=的邻边的对边AA=cotBtanA＞0Tangenttan(或tg)锐角∠A的余切cotA=的对边的邻边AA=tanBcotA＞0Cotangentcot(或ctg、ctn)注：对于锐角∠A的每一个确定的度数，其对应的三角函数值也是唯一确定的。（2）同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A=1商数关系：tanA=AAcossin，cotA=AAsincosCAbcBa图(1)图19.3.1WORD格式整理专业知识分享倒数关系：tanA=Acot1，tanA·cotA=1推广：同（锐）角三角函数之间的关系（正余交换）：sinA=cos（90°－A）,cosA=sin（90°－A）,tanA=cot（90°－A）,tanA·cotA=1.（3）三角函数中常用的特殊函数值。函数名0°30°45°60°90°sinα01cosα10tanα01无穷大cotα无穷大10锐角三角函数的变化情况：在0°~90°之间，锐角∠A的正弦值随着角度的增大而增大。在0°~90°之间，锐角∠A的余弦值随着角度的增大而减小。在0°~90°之间，锐角∠A的正切值随着角度的增大而增大。在0°~90°之间，锐角∠A的余切值随着角度的增大而减小。WORD格式整理专业知识分享图19.4.3图19.4.5三、解直角三角形的类型与解法：已知条件解法步骤Rt△ABC，∠C=90°图19.3.1计算边的口诀：有斜求对乘正弦有斜求邻乘余弦无斜求对乘正切无斜求邻乘余切两边两直角边（a，b）1、由tanA=ba求∠A2、∠B＝90°—∠A3、c＝22ba……斜边c,直角边a1、由sinA=ca求∠A2、∠B＝90°—∠A3、b＝22a—c……一边一角直角边、一锐角锐角∠A、锐角∠A的邻边b1、∠B＝90°—∠A2、由tanA=baa＝b·tanA3、由cosA=cbc=cosAb锐角∠A、锐角∠A的对边a1、∠B＝90°—∠A2、由cotA=abb＝a·cotA3、由sinA=cac=sinAa斜边c、锐角∠A1、∠B＝90°—∠A2、由sinA=caa=c·sinA3、由cosA=cbb=c·cosA有斜用弦（条件或求解中有斜边时，用正弦sin或余弦cos）无斜用切（条件或求解中没有斜边时，用正切tan或余切cot）取原避中（尽量用原始数据，避免中间近似，否则会增大最后答案的误差）宁乘勿除（能用乘法的尽量用乘法，可以提高计算的准确度）四、有关名词、术语的意义1、铅垂线：重力线方向的直线。2、水平线：垂直于铅垂线的一条直线。3、仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。4、坡面的坡度（或坡比）：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）。记作i,即i=lh.5、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝lh=tana已知与解法三角形类型WORD格式整理专业知识分享60AO南西北东CBAD6045aa+xxCBAD3060axxxa4530DABCxa4560DABCxa-xa-xxCBAD3045axxaaEDABC6030x3060CBADEaaxxa+xxaaEDABC45306、方向角：如右图，OA表示北偏东60°方向注意：东北方向表示北偏东45°五、高度的测量的方法：构造两个相似的直角三角形，利用相似三角形的对应边成比例。1、利用平行的太阳光线2、利用标杆与量角仪3、利用物理的光学知识与平面镜六、直角三角形在尺规作图中的完美体现（1）在数轴上表示无理数（2）黄金分割七、解直角三角形的几种基本图形图形1cot30°=3xxa，∠ABD=∠A，BD=AD=a，xxa60tanxax3，2360sinaxxax3aax21313.ax23aax21313图形2cot30°=3xxa，tan60°=3xaxxax3，xax33aax21313.aax233133图形3DE=AC=CD=a+xAC=BE=DE=x可证∠BAD=∠BDA=30°WORD格式整理专业知识分享cot30°=3xxatan60°=3xxaAB=BD=a，aax21313aax21313aBDx2121例１、在△ABC中，若|sinA－1|＋(23－cosB)2＝0，则∠C＝.解由条件知，sinA－1＝0且23－cosB＝0即sinA＝1，∴∠A＝90o；cosB＝23,∴∠B＝30o(∠B为锐角)．则∠C＝60o.例2、如图，在△ABC中，∠C＝90o，AD是角平分线，且∠BAC＝60o，AD＝10，求AB的长．分析求线段AB的长，应当考虑解直角△ABC，而从条件看Rt△ABC中仅有∠BAC＝60o(或∠B＝30o)的条件，显然要创造条件，使它成为可解的直角三角形．而Rt△ACD中，AD＝10,∠DAB＝21∠BAC＝30o，所以它是可解的三角形．因此可利用Rt△ACD的可解创造出Rt△ABC的条件．解在Rt△ACD中，AD＝10，∠DAC＝30o.∴AC＝AD·cos30o＝53.在Rt△ABC中，∠B＝30o，AC＝53.∴AB＝2AC＝103.例3、如图，D是△ABC的边AB上的一点，且BD＝2AD，CD＝6，cos∠BCD＝23,那么BC边上的高AE＝.分析由cos∠BCD＝23,易知∠BCD＝30o.虽然CD＝6，但△BCD不是直角三角形．因此作DF⊥BC于F，可得可解的直角△CDF.解作DF⊥BC于F，∵cos∠BCD＝23,∴∠BCD＝30o.在Rt△CDF中，CD＝6.DF＝21CD＝3.ABDCACDEFBWORD格式整理专业知识分享又∵DF∥AE，∴DFAE＝BDAB＝23.则AE＝23DF＝29.例4已知△ABC中，∠B＝45o，∠C＝30o，BC＝3＋33，那么AB＝.解作AD⊥BC，垂足为D.设BD＝x，则AD＝x，CD＝3x.根据题意，得x＋3x＝3＋33.即(1＋3)x＝3(1＋3)∴x＝3.又AB＝2BD，∴AB＝32.例5、如图，沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽2米，坡度由原来的1:2改为1:2.5，已知坝高6米，坝长50米．(1)求加宽部分横断面AFEB的面积；(2)完成这一工程需要多少方土？分析求梯形AFEB的面积，关键是求出两底AF、BE的长．坡度1:2的意义即tg∠ABC＝21，坡度1:2.5，即tg∠E＝5.21＝52.解在Rt△ABG中，BG＝2AG＝12（米）∴BE＝EH－BH＝5(米)则S梯形ABEF＝21(2＋5)×6＝21（米2）需要完成工程的土方量为21×50＝1050（米3）答横断面AFEB的面积为21米2；完成工程需要1050方土．例6在正方形ABCD中，F是CD上一点，AE⊥AF,AE交CB的延长线于点E，连结EF交AB于点G.(1)求证：DF·FC＝BG·EC；(2)已知：当tａｎ∠DAF＝31时，△AEF的面积为10cm2，问当tg∠DAF＝32时，△AEF的面积是多少？分析不难证得Rt△ABE≌Rt△ADF.故DF＝BE.由△EBG∽△ECF而证得(1)的结论．ABCDEFGH2米6米1:21:2.5ADBCFEGWORD格式整理专业知识分享由AE⊥AF，AE＝AF知S△AEF＝21AF2＝10.又ADDF＝31，DF2＋AD2＝AF2＝20.则AD＝32.当ADDF＝32时，DF＝22，∴AF2＝26，则当tａｎ∠DAF＝32时，S△AEF＝13(cm2).解直角三角形测试题一:选择题1、ABCRt中，∠C=90°，AC=4，BC=3，Bcos的值为()A、51B、53C、34D、432、已知∠A+∠B=90°，且Acos=51，则Bcos的值为()A、51B、54C、562D、523、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长是()A、38B、34C、32D、84、在ABCRt中，∠C=90°，Atan=3，AC=10，则S△ABC等于()A３B、３00C、350D、1５0５、一人乘雪橇沿坡度为１:3的斜坡滑下，滑下距离Ｓ（米）与时间t（秒）之间的关系为Ｓ＝2210tt,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为()A、72米B、36米C、336米D、318米6、在ABCRt中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c三边，则下列式子一定成立的是()A、BcasinB、BcacosC、BactanD、Aacsin7、若∠A为锐角，132tantanA，则∠A等于()A、32B、58C、)321(D、)581(8、如果把ABCRt的三边同时扩大n倍，则Asin的值()A、不变B、扩大n倍C、缩小n倍D、不确定WORD格式整理专业知识分享9、ABC中，∠C=90°，AC=52，∠A的角平分线交BC于D，且AD=1534，则Atan的值为()A、1558B、3C、33D、3110、如图ABC中，AD是BC上的高，∠C=30°，BC=32，21tanB，那么AD的长度为()A、21B、1C、2321D、331二：填空题(20分)11、如图P是的边OA上一点,P的坐标为(3,4),则sin。12、等腰三角形的腰长为10cm，顶角为120，此三角形面积为。13、已知方程01272xx两根为直角三角形的两直角边，则其最小角的余弦值为。14、如图甲、乙两楼之间的距离为40米，小华从甲楼顶测乙楼顶仰角为=30，观测乙楼的底部俯角为=45，试用含、的三角函数式子表示乙楼的高h米。15、在ABCRt中，∠C=90°，CD是AB边上的中线，BC=8，CD=5，则ACDtan。三：计算16、计算0)12(60tan45tan30cos218、在ABCRt中，∠C=90°，且21sinA，AB=3，求BC，AC及B.19、已知，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADB=090，AB=5，AD=3，BC=32求，四边形ABCD的面积S四边形ABCD.WORD格式整理专业知识分享20、(8分)如图，B、C是河岸边两点，A是对岸边上的一点，测得∠ABC=300，∠ACB=600，BC=40米，求A到岸边BC的距离是多少米？（结果精确