2016中考数学：-几何与函数问题专题复习

12016中考数学专题讲座几何与函数问题【知识纵横】客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。【典型例题】【例1】已知24ABAD，，90DAB，ADBC∥（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BEx，ABM△的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以AND，，为顶点的三角形与BME△相似，求线段BE的长．【思路点拨】（1）取AB中点H，联结MH；（2）先求出DE;（3）分二种情况讨论。【例2】（山东青岛）已知：如图（1），在RtACB△中，90C，4cmAC，3cmBC，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为(s)t（02t），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC∥？（2）设AQP△的面积为y（2cm），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtACB△的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图（2），连接PC，并把PQC△沿QC翻折，得到四边形PQPC，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．图（1）图（2）BADMECBADC备用图AQCPBAQCPBP2【思路点拨】（1）设BP为t，则AQ=2t，证△APQ∽△ABC；（2）过点P作PH⊥AC于H．（3）构建方程模型，求t；（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，若四边形PQP′C是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t的值。【例3】（山东德州）如图（1）,在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？图（1）图（2）图（3）【思路点拨】（1）证△AMN∽△ABC；（2）设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，先求出OD（用x的代数式表示），再过M点作MQ⊥BC于Q，证△BMQ∽△BCA；（3）先找到图形娈化的分界点，x＝2。然后分两种情况讨论求y的最大值：①当0＜x≤2时，②当2＜x＜4时。ABCMNDOABCMNPOABCMNPO3【学力训练】1、（山东威海）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．（1）求梯形ABCD的面积；（2）求四边形MEFN面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．2、（浙江温州市）如图，在RtABC△中，90A，6AB，8AC，DE，分别是边ABAC，的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA∥交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQx，QRy．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使PQR△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．3、（湖南郴州）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．．（1）求证：ΔBEF∽ΔCEG．（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？4、（浙江台州）如图，在矩形ABCD中，9AB，33AD，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQBD∥，交CD边于Q点，再把PQC△沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，PQR△与矩形ABCD重叠部分的面积为y．（1）求CQP的度数；（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？（3）①求y与x之间的函数关系式；②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的727？MBDCEFGxACDABEFNMABCDERPHQ4几何与函数问题的参考答案【典型例题】【例1】（上海市）（1）取AB中点H，联结MH，M为DE的中点，MHBE∥，1()2MHBEAD．又ABBE，MHAB．12ABMSABMH△，得12(0)2yxx；（2）由已知得22(4)2DEx．以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，1122MHABDE，即2211(4)2(4)222xx．解得43x，即线段BE的长为43；（3）由已知，以AND，，为顶点的三角形与BME△相似，又易证得DAMEBM．由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADNBEM；②ADBBME．①当ADNBEM时，ADBE∥，ADNDBE．DBEBEM．DBDE，易得2BEAD．得8BE；②当ADBBME时，ADBE∥，ADBDBE．DBEBME．又BEDMEB，BEDMEB△∽△．DEBEBEEM，即2BEEMDE，得2222212(4)2(4)2xxx．解得12x，210x（舍去）．即线段BE的长为2．综上所述，所求线段BE的长为8或2．【例2】（山东青岛）（1）在Rt△ABC中，522ACBCAB，DQCBPRABADC（备用图1）BADC（备用图2）BAQPCH5由题意知：AP=5－t，AQ=2t，若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，∴ACAQABAP，∴5542tt，∴710t．（2）过点P作PH⊥AC于H．∵△APH∽△ABC，∴BCPHABAP，∴3PH55t，∴tPH533，∴ttttPHAQy353)533(221212．（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．∴)24(32)5(tttt，解得：1t．若PQ把△ABC面积平分，则ABCAPQSS21，即－253t＋3t=3．∵t=1代入上面方程不成立，∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，若四边形PQP′C是菱形，那么PQ＝PC．∵PM⊥AC于M，∴QM=CM．∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．∴ABBPACPN，∴54tPN，∴54tPN，∴54tCMQM，∴425454ttt，解得：910t．∴当910t时，四边形PQP′C是菱形．此时37533tPM，9854tCM，在Rt△PMC中，9505816494922CMPMPC，∴菱形PQP′C边长为9505．【例3】（山东德州）（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．P′BAQPC图②MN6∴AMANABAC，即43xAN．∴AN＝43x．∴S=2133248MNPAMNSSxxx．（0＜x＜4）（2）如图（2），设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD=21MN．在Rt△ABC中，BC＝22ABAC=5．由（1）知△AMN∽△ABC．∴AMMNABBC，即45xMN．∴54MNx，∴58ODx．过M点作MQ⊥BC于Q，则58MQODx．在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA．∴BMQMBCAC．∴55258324xBMx，25424ABBMMAxx．∴x＝4996．∴当x＝4996时，⊙O与直线BC相切．（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．∴△AMO∽△ABP．∴12AMAOABAP．AM＝MB＝2．故以下分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，2Δ83xSyPMN．∴当x＝2时，2332.82y最大②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．ABCMND图（2）OQABCMNP图（4）OEFABCMNP图（3）OABCMNP图（1）O7∵四边形AMPN是矩形，∴PN∥AM，PN＝AM＝x．又∵MN∥BC，∴四边形MBFN是平行四边形．∴FN＝BM＝4－x．∴424PFxxx．又△PEF∽△ACB．∴2PEFABCSPFABS．∴2322PEFSx．MNPPEFySS＝222339266828xxxx．当2＜x＜4时，29668yxx298283x．∴当83x时，满足2＜x＜4，2y最大．综上所述，当83x时，y值最大，最大值是2．【例3】（山东德州）（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．∴AMANABAC，即43xAN．∴AN＝43x．∴S=2133248MNPAMNSSxxx．（0＜x＜4）（2）如图（2），设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD=21MN．在Rt△ABC中，BC＝22ABAC=5．由（1）知△AMN∽△ABC．∴AMMNABBC，即45xMN．∴54MNx，∴58ODx．过M点作MQ⊥BC于Q，则58MQODx．在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，ABCMND图（2）OQ8∴△BMQ∽△BCA．∴BMQMBCAC．∴55258324xBMx，25424ABBMMAxx．∴x＝4996．∴当x＝4996时，⊙O与直线BC相切．（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．∴△AMO∽△ABP．∴12AMAOABAP．AM＝MB＝2．故以下分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，2Δ83xSyPMN．∴当x＝2时，2332.82y最大②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．∵四边形AMPN是矩形，∴PN∥AM，PN＝AM＝x．又∵MN∥BC，∴四边形MBFN是平行四边形．∴FN＝BM＝4－x．∴424PFxxx．又△PEF∽△ACB．∴2PEFABCSPFABS．∴2322PEFSx．MNPPEFySS＝222339266828xxxx．当2＜x＜4时，29668yxx298283x．∴当83x时，满足2＜x＜4，2y最大．ABCMNP图（4）OEFABCMNP图（3）OABCMNP图（1）O9综上所述，当83x时，y值最大，最大值是2．【学力训练】1、（山东威海）（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．∵AB∥CD，∴DG＝C