圆锥曲线中的焦点三角形

1焦点三角形焦点三角形问题是重要考点，考到的内容有：椭圆或双曲线定义和正余弦定理以及面积公式等。常与曲线的离心率相结合，注意平面几何知识的应用。一：椭圆的焦点三角形椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点12,FF与椭圆上任意一点P为顶点组成的三角形。)0(12222babyax性质有：（1）12||||2PFPFa（2）2221212124||||2||||coscPFPFPFPFFPF（3）椭圆上的点与两焦点连线的夹角以椭圆短轴顶点与两焦点连线的夹角最大.证明：设P是椭圆22221xyab（0ab，c为半焦距）上的一点，O为原点，E、F是椭圆的两焦点，PEm，PFn则222222244222cos1122mncbmnbbEPFmnmnmna，由余弦函数图象性质知EPF有最大值，当且仅当P在短轴端点时取到该最大值。（4）设P为椭圆上的任意一点，角12FFP，21FFP，21FPF，则有离心率sin()sinsine，122sin1cosPFFSb2=btan2证明：由正弦定理得：sinsin)180sin(1221PFPFFFo由等比定理得：sinsin)sin(2121PFPFFF而)sin(2)sin(21cFF，sinsin2sinsin21aPFPF∴sinsin)sin(ace。例题：1、椭圆22221(,0)xyabab的两个焦点12,FF，点P在椭圆上，且1212414,||,||33PFPFPFPF.求椭圆的方程22194xy22、设P为椭圆12222byax)0(ba上一点，F1、F2为焦点，如果7521FPF，1512FPF，则椭圆的离心率为()A．22B．23C．32D．363、1F、2F是椭圆17922yx的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠02145FAF，则12AFF的面积为（）A．7B．47C．27D．2574、1F、2F是椭圆2212516xy的两个焦点，A为椭圆上一点，且1290,FAF，则A到x轴的距离为A．163B．165C．161635orD．非上述答案5、设21FF，分别是椭圆1162522yx的左、右焦点，P为椭圆上一点，12,FFP，是直角三角形的一个顶点，则P点到x轴的距离是A.163B.165C.161653或D.非上述答案6、设21FF，分别是椭圆221259xy的左、右焦点，P为椭圆上一点，12,FFP，是是直角三角形的三个顶点，则P点到x轴的距离是A.94B.95C.9954或D.非上述答案7、过椭圆左焦点F，倾斜角为3的直线交椭圆于A，B两点，若FBFA2，则椭圆的离心率为（构造焦点三角形，两次应用余弦定理，整体处理余弦定理的结果）8、已知RtABC，1,ABAC点C为椭圆22221(0)xyabab的右焦点，且AB为经过椭圆左焦点的弦，求椭圆的离心率。9、已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，若椭圆上存在一点P使1221sinsinacPFFPFF，则该椭圆的离心率的取值范围为()A.)1,12(B.)1,13(C.)1,23(D.)1,22(二：双曲线的焦点三角形双曲线的焦点三角形是指以双曲线的两个焦点12,FF与双曲线上任意一点P为顶点组成的3三角形。22221(0,0)xyabab性质有：（1）12||||2PFPFa（2）2221212124||||2||||coscPFPFPFPFFPF（3）设P为椭圆上的任意一点，角12FFP，21FFP，21FPF，则有离心率sin()sinsine()，122sin1cosPFFSb2=tan2b（4）例题：1、设P为双曲线22112yx上的一点，12FF，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PFPF，则12PFF△的面积为（）A．63B．12C．123D．242、已知12,FF为双曲线22:2Cxy的左右焦点，点P在C上，12||2||PFPF，则12cosFPFA．14B．35C．34D．453、双曲线2212yx的焦点为1F、2F，点M在双曲线上且120MFMF，则点M到x轴的距离为（）A.43B.53C.3D.2334、已知1F、2F为双曲线C:221xy的左、右焦点，点P在C上，∠1FP2F=060，则P到x轴的距离为(A)32(B)62(C)3(D)65、设F1，F2分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使22()0OPOFFP，O为坐标原点，且12||3||PFPF，则该双曲线的离心率为A．31B．312C．62D．62246、设点P是双曲线22221(,0)xyabab与圆2222xyab在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且12||3||PFPF，则双曲线的离心率A．5B．52C．10D．1027、过双曲线22221xyab(0,0ab)的左焦点F(-c,0)作圆222xya的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，O为原点，若12OE(OFOP)，则双曲线的离心率为58、已知1F、2F分别为双曲线2222C:1xyab0ab的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，满足212||||PFFF，且2F到直线1PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为539、已知1F、2F分别为双曲线2222C:1xyab0ab的左、右焦点，若双曲线上存在一点P，满足12||2||PFPF，则该双曲线的离心率范围为(1,3]10、已知12,FF为离心率为2的双曲线的左右焦点，点P在C上，12||2||PFPF，则21cosPFFA．14B．1335C．24D．2311、设12FF，分别是双曲线2219yx的左、右焦点．若点P在双曲线上，且120PFPF，则12PFPF（）A．10B．210C．5D．2512、设12FF，分别是双曲线22221xyab的左、右焦点，,AB是圆2222xyab与双曲线左支的两个交点，且2ABF为等边三角形，则该双曲线的离心率A．5B．3C．31D．5213、已知P是双曲线222210,0xyabab右支上一点，1F、2F分别是双曲线的左、右焦点，I为12PFF的内心，若121222IPFIPFIFFSSS成立，则该双曲线的离心率为A.4B.2C.2D.2214、已知P是双曲线22143xy上一点，1F、2F分别是双曲线的左、右焦点，若1||5PF5则2||PF19or15、已知P是双曲线221412xy上一点，1F、2F分别是双曲线的左、右焦点，若1||5PF则2||PF9练习：已知双曲线12222byax（a＞0，b＞0）的两个焦点为1(,0)Fc、2(,0)Fc，若双曲线上存在一点P满足1221sin,sinPFFaPFFc则该双曲线的离心率的取值范围是(1,12)16、已知双曲线12222byax（a＞0，b＞0）的两个焦点为1F、2F，点A在双曲线第一象限的图象上，若△21FAF的面积为1，且21tan21FAF，2tan12FAF，则双曲线方程为A．1351222yxB．1312522yxC．1512322yxD．1125322yx17、设12,FF是双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点，过点2F的直线与双曲线的右支交于,AB两点，若1FAB是以A为直角顶点的等腰三角形，则2e52218、设12,FF是双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点，过点1F的直线与双曲线的左右支交于,AB两点，若22||:||:||3:4:5ABBFAF，则双曲线的离心率是1319、如图设12,FF是双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点，12||4FF，P为双曲线右支上一点，2FP与y轴交于点A，1APF的内切圆在边1PF上的切点为Q，若||1PQ，则双曲线的离心率是(A)3(B)2(C)2(D)36椭圆与双曲线的焦点三角形例题：若椭圆122nymx)0(nm和双曲线221xyst)0,(ts有相同的焦点1F和2F，而P是这两条曲线的一个交点，则21PFPF的值是().AmsB.)(21smC.22smD.sm例题：若椭圆2211xymm与双曲线2210xynn有相同的焦点，点P是两曲线的一个公共点，则12FPF的面积是1例题：设1F与2F是曲线1:C22162xy的两个焦点，点M是曲线1C与曲线2:C2213xy的一个交点，求12MFF的面积．例题：如图,21,FF是椭圆14:221yxC与双曲线2C的公共焦点,BA,分别是1C,2C在第二、四象限的公共点.若四边形21BFAF为矩形,则2C的离心率是.2A.3B3.2C6.2D例题：已知点P是以12,FF为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且12PFPF，12,ee分别为椭圆和双曲线的离心率，则12.2Aee2212.4Bee12.22Cee221211.2Dee例题：已知点P是以12,FF为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且1260,FPF，12,ee分别为椭圆和双曲线的离心率，则1211ee的最大值为743.3A23.3B.3C.2D例题：已知1F、2F是椭圆和双曲线的公共焦点，点P为它们的一个公共点，1260,FPF则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值是（）A.433B.233C.3D.2提示：12222sin60sinsinsinsinsinsinmnamnacmn例题：