专题4、圆锥曲线范围、最值问题

专题四、圆锥曲线中的最值范围问题一、知识储备1、点的坐标PxyO),()1(yxP)sin,cos()2(rrP点无明显的几何条件在o为圆心的圆上)sin,cos(rbraP在(a,b)为圆心的圆上),()3(P)sin,cos(baP在椭圆上在极坐标系内极坐标三角形式一般形式2、直线方程的选取mkxy)1(nmyx)2(不包括竖直，过定点(0,m)为参）ttbytax(sincos)3(不包括水平，过定点(n,0)为倾斜角，t表示有向线段PQ的数量。P(a,b)为直线上的定点，Q(x,y)为直线上的动点。参数方程横截式纵截式lxyO(0,m)(n,0)),(yxQ),(baPt3、曲线方程的选取（这里主要指椭圆）一般方程)1(为参）参数式(sincos)2(byax)0(12222babyax极坐标式（两种）)3()(sincos122222原点为极点ba)(coscos12焦点为极点，左减右加cabeep韦达定理：不记即二次项系数常数同理）（双曲线将减号变加号)2(00)(4)1(0)()(10222222222222222mbkambaxxbkabyaxmykxmkxy（1）纵截式中的常见结论4、关键方程的处理22222222222211)(41||||)3(kbkambkabakxxAB弦长A(x1,y1)B(x2,y2)O行列式形式）(||21)(4||21||||21)4(122122222222221yxyxbkambkabamxxmSAOB韦达定理：不记即二次项系数常数同理）（双曲线将减号变加号)2(00)(4)1(0)()(10222222222222222nmbambayymbabyaxnmyxnmyx（2）横截式中的常见结论22222222222211)(41||||)3(mmbanmbabamyyAB弦长行列式形式）(||21)(4||21||||21)4(12212222222221yxyxmbanmbabamyynSAOBA(x1,y1)B(x2,y2)O2212212221142112)2(470)942(244)1(kxxkkxxkk124124033.12222yxyxykxkxy例01412)21(4232222kxxkyxkxy222124)74(32||)3(kkkAB弦长行列式形式）(||2124)74(32321)4(122122yxyxkkSAOB22122122243364324)2()41,0(40)1634(344)1(myymmyykmm即134134044.22222yxyxmyxmyx例03624)43(124342222myymyxmyx行列式形式）(||2134)1234(421)4(122122yxyxmmSAOB222134)123(48||)3(mmmAB弦长解析几何问题分两类：定量和变量问题，所谓变量问题即范围和最值问题。两类问题都常常要将几何条件合理转化为代数形式再进行运算。通常的转化手段有两种：代点法如点差、点积法等，更常用的是转化到直线和曲线的交点坐标整体应用韦达定理进行运算，涉及到范围问题要考虑判别式范围。而将几何条件代数化是学生的难点，下面将常见的转化手段归类并举例说明。二、几何条件代数转化类型一、弦长直线参数方程形式）(||)1(1||1||)()(||21221221221221ttkmmyykxxyyxxABA(x1,y1)B(x2,y2)O。且只有3个，求e范围内接等腰RtABC有b)，若以A为顶点的A(0,0),b1(abyax例1.椭圆2222A(0,b)OBCb。kx在y轴，选纵截式y直线方程选择：因为Ak1k，直角|AC||AB|条件转化：等腰1时ΔABC适合。显然k0k妨设k解析：根据对称性，不ACAB0kbx2a)xka(bbayaxbbkxy由222222222220显然ΔA(0,b)OBC2222222222222222222kabk1|k|b2ak1kab)bka(bb4ak1kabΔ|AB|2222222222abkk1b2akabk11|k1|b2a|AC|则k1类比k0有三个不等正根bkakabkkabkabkabk1kabkabkk1b2akabk1|k|b2a|AC||AB|2222232222232222222222222222,1)36(e,1)32(ab1e31ab03ba2bba0bb0bba04b)a(bΔ所以0有两个正根b)ka(bkbf(k)0有两个正根ka1)k(kb1时，需k显然有一正根为1，当01)k(ka1)k1)(k(kb0)k(ka1)(kb2222222222222224222222222222222232,4]3[|AB|]3[1,u,u13u813u8u21u314u|AB|21uαsin]3[1,uα2sin1令α3sin1α2sin14α3sin1Δ|t|t|AB|03t2cosαα)t3sin（144（tsinα）tcosα）（1代入椭圆方程整理(t为参),tsinαytcosα1x:设l到直线参数方程较简单解析：l过定点，考虑22222222212222的范围。|ABB，求|A,的直线l与椭圆交于1，过点P(1,0)y4x例2.椭圆22AOBP(1,0)斜率k。依次成等比数列，求l|PB||,AB||,PA两点，且|Bx交于A,线y-2)的直线l与抛物练习.过点P(-1,2程或参数方程)(思路：直线设一般方91-答案：1或)(||||21)(||||21||212121为横截距为纵截距nyynmxxmdABSAOB类型二、三角形AOB面积O),()sin,cos(),(2222bayxB),()sin,cos(),(1111bayxA)(|)sin(|21(),,(|)sin(|21(||2112211221椭圆原点极坐标形式椭圆参数方程形式）对应的参数为行列式面积公式）BAabyxyxSAOBO),()sin,cos(),(2222bayxB),()sin,cos(),(1111bayxAOBA规律：若为如图四边形，则为平行四边形，转化求得。AOBSS4四边形面积的最大值。求四边形ABCDD,一个点C,BO与椭圆分别交于另B，AO,A,的直线l与椭圆交于1，过点P(0,2)y4x例2.椭圆22OBA43k04)4k16(1Δ01216kx)x4k（11y4x2kxy由)y,B(x),y,A(x适合）2(显然k不存在时不kxy:设l，4S解析：S2222222211ΔAOB四边形2212214k112xx4k116kxx4所以S取等）27k2,4(当且仅当tt4t164t16tS)(0,t34k令),43(k,4k134k44|x-x2|214Smax2222221四边形D面积的范围。BD，求四边形ABCAC,相垂直的弦1，过原点O作两条互y4x练习1.椭圆22OBA0恒成立)4k16(1Δ04)x4k（11y4xkxy由xk1-y:则BD),y,C(x),y,A(x0时）kx(k存在且ky:解析：法1.设AC222222211222222222k4k14k41k114|BD|类比,4k1k14k14k14k14|AC|,4)516[49u9u-84)t19()t19(-899t4t8tS)(1,tk令1)k)(44k(1)k8（1k4k144k1k1421S22222222222四边形,4]516[所以S4,0时S当k不存在或kθ3cos14ρ,θ3sin14θsin4θcos1ρ1θsinρ4θcosρ),2πθ,B(ρθ),极坐标系，设A(ρ法2.以O为极点建立22222221222221,16]25256[42θsin4964)θ3cos14)(θ3sin144(Sρ2ρρρ214S22222121四边形,4]516[所以S)(|)sin(|21)(||||21||21122121椭圆焦点极坐标形式为横截距nyyncdABSAOB类型三、三角形AFB面积的几种表示O),(),(2222yxB),(),(1111yxAF规律：1、三角形AFB面积用横分割或极坐标较好；2、若延长AF,BF交椭圆于C,D，四边形的面积则用极坐标好。)23πθ,D(ρπ),θ,C(ρ),2πθ,B(ρθ),,设A(ρecosθ1ep椭圆极坐标方程为ρ系以F为极点建立极坐标解析：极坐标较简单，4321D面积的范围。BD，求四边形ABC弦AC,互相垂直的1，过右焦点F作两条y4x例1.椭圆22OBACDF223cos344cos4311|θcose12ep)ecos(1epecosθ1ep|AC221,2]2532[42θsin498θ)3sinθ)(43cos(48|BD||AC|21Sθ3sin44|BD|类比,θ3cos44|AC|222四边形22同理,λyyPBλPA分点P在x轴上，两式消λ得关系式gλxxxf1)x(λxx代入应用韦达定理b,kx设yλxxPBλPA分点P在y轴上，21222122121类型四、AB上的分点问题O),(22yxB),(11yxAP规律：注意长度比和向量系数的符号关系：P为外分点：P为内分点：PBλPAPB|λPA|||PBλPAPB|λPA|||最大值。求S1，M为短轴上动点，:2|MB|:|AM|(3)若λ，求λ范围;|PB|:|AP|(2)若求直线AB;1,:2|PB|:|AP|(1)若1y4x椭圆1,0),例1.P(ΔAOB22O),(22yxB),(11yxAPnmy所以选方程横截式x0,解析：由于P纵坐标为4m3yy4m2myy0恒成立，Δ032my4)y(m1y4x1(AB不水平时)myx22122122222122)1(yyPBPA1:2|PB|:|AP|222222212221)4m2m2(4m32y4m3yyy4m2myy,5152m1y5152x:所以ABAB水平时不适合,21λyyPBλPAλ|PB|:|AP|(2)λλ)-(134m)4m2m(λy4m3yyλ)y(14m2myy2222222212221