解析几何中的最值问题详解

解析几何中的最值问题解析几何中的最值问题大致可分为两类：一是求夹角、面积、距离最值或与之相关的一些问题，二是求直线与圆锥曲线（圆）中几何元素的最值或与之相关的一些问题。这类问题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，因而这类最值问题成为历年各省市数学高考中的热点和难点。考生在解答该类问题时，常常表现为无从下手，或者半途而废。解决这类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维。宏观上把握，微观上突破，在审题和解题思路的整体设计上狠下功夫即可顺利过关。这类问题的解决方法虽没有固定的模式,但也有规律可寻，下面通过一些例题的分析归纳,总结解析几何中最值问题的一些求法。一、曲线定义法【理论阐释】圆锥曲线的定义刻画了动点与定点（或定直线）距离之间的不变关系，利用这种不变关系，化动为静即可很快解决问题。此种题型多以选择题或填空题出现，关键要对曲线定义及曲线几何性质等概念理解透，用得活，一般来说涉及焦半径、焦点弦的最值问题可考虑利用圆锥曲线的定义去研究解决.【典例导悟】【例1】（2009四川卷理）已知直线1:4360lxy和直线2:1lx，抛物线24yx上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是（）A.2B.3C.115D.3716【解析】选A.如图所示，动点P到2:1lx的距离可转化为PF的距离，由图可知，距离和的最小值，即F到直线l1的距离22|46|2.34d【例2】（2009辽宁卷理）已知F是双曲线221412xy的左焦点，(1,4),AP是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为____.【解析】注意到A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F(4,0),于是由双曲线性质|PF|－|PF|＝2a＝4而|PA|＋|PF|≥|AF|＝5两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F三点共线时等号成立.【答案】9【例3】（2009重庆卷文）已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为55x，离心率5e．（1）求该双曲线的方程；（2）如题（20）图，点A的坐标为(5,0)，B是圆22(5)1xy上的点，点M在双曲线右支上，求MAMB的最小值，并求此时M点的坐标；【解析】（1）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为22221(0,0)xyabab，设22cab，由准线方程为55x得255ac，由5e，得5ca解得1,5ac，从而2b，该双曲线的方程为2214yx；（Ⅱ）设点D的坐标为(5,0)，则点A、D为双曲线的焦点，||||22MAMDa所以||||2||||2||MAMBMBMDBD≥，由B是圆22(5)1xy上的点，其圆心为(0,5)C，半径为1，故||||1101BDCD≥-1从而||||2||101MAMBBD≥≥当,MB在线段CD上时取等号，此时||||MAMB的最小值为101直线CD的方程为5yx，因点M在双曲线右支上，故0x由方程组22445xyyx解得5424542,33xy所以M点的坐标为5424542(,)33；二、平面几何法【理论阐释】有些最值问题具有相应的几何意义（如求分数最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式，平面中两点之间线段最短等等），若能恰当地利用其几何意义，则可数形结合，或者将图形局部进行转化，使最值问题得以求解。【典例导悟】【例1】已知10xy,则22(1)(1)xy的最小值为.【解析】所求22(1)(1)xy的值可看成直线10xy上的动点到定点(1,1)的距离，其最小值即定点到定直线的距离1113222d.答案：322【解析】在x轴上任取一点M,且找到点(2,4)A关于x轴的对称点(2,4)D,则AMBMDMBMDB=52,此时C(2,0).XYA(-2,4)D(-2,-4)B(3,1)MCO···【例2】已知两点(2,4),(3,1)AB,在x轴上找一点C,求点C到A、B两点的距离的和的最小值.【例3】已知x、y满足22(2)(2)1xy(2)y,(1)求33yx的最大值和最小值;(2)若2bxy,求b的最大值和最小值.【解析】如图所示，(1)33yx的值,可以看作半圆上的动点P(x,y)与定点M(-3,-3)的连线的斜率k的值,故等价于直线3(3)ykx与半圆有交点时斜率k的最值问题,结合图形知MAMBkkk.因为A(3,2),所以56MAk，MBk为与半圆相切的直线的斜率,从而有2223311kkdk,得43k或34k(舍).故而534633yx.所以33yx的最大值和最小值分别为45,.36(2)b的几何意义为直线的纵截距,相当于直线与半圆有交点时求纵截距的最值,结合图形知直线过E(1,2)时,b最小为4;当过点F时,直线和半圆相切时,b有最大值,由615bd,得65b(舍小值).从而:465b.所以b的最大值和最小值分别为65,4.XYOBM（-3，-3）A（3，2）E（1，2）F三、函数法【理论阐释】解析几何中的许多问题可通过选择恰当的变量转化为函数（如一次函数、二次函数、三次函数、对号函数等）的最值问题，在利用二次函数求最值时要注意自变量的取值范围及对称轴位置，当对称轴位置不确定时，必须进行分类讨论。【典例导悟】二次函数配方法【例1】已知双曲线22:14xCy，P为C上的任意一点。（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为(3,0)，求||PA的最小值.【解析】（1）证明：设11(,)Pxy是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是20xy和20xy.点11(,)Pxy到两条渐近线的距离分别是11|2|5xy和11|2|5xy，它们的乘积是11|2|5xy221111|2||4|4555xyxy.即点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.（2）设P的坐标为(,)xy，则222||(3)PAxy22(3)14xx25124()455x由||2x，当125x时，2||PA有最小值为45，即||PA的最小值为255.三次函数求导法【例2】（2009全国卷Ⅰ文、理）如图，已知抛物线2:Eyx与圆222:(4)(0)Mxyrr相交于A、B、C、D四个点。（1）求r的取值范围（2）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。【解析】（1）将抛物线2:Eyx代入圆222:(4)(0)Mxyrr的方程，消去2y，整理得227160xxr．．．．．．．．．．．．．（1）抛物线2:Eyx与圆222:(4)(0)Mxyrr相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴016070)16(449221212rxxxxr即4rrrr＞01515＜-或＞22＜＜4。解这个不等式组得152425r，∴15(,4)2r.（2）设四个交点的坐标分别为11(,)Axx、11(,)Bxx、22(,)Cxx、22(,)Dxx。则由（1）根据韦达定理有212127,16xxxxr，15(,4)2r则2112211212||()||()2Sxxxxxxxx222212121212[()4](2)(7216)(415)Sxxxxxxxxrr令216rt，则22(72)(72)Stt下面求2S的最大值。方法1：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但有时在处理一些最值问题时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。由三次均值有：221(72)(72)(72)(72)(144)2Sttttt3317272144128()()2323ttt当且仅当72144tt，即76t时取最大值。经检验此时满足15(,4)2r。方法2：设四个交点的坐标分别为11(,)Axx、11(,)Bxx、22(,)Cxx、22(,)Dxx则直线AC、BD的方程分别为)(),(112121112121xxxxxxxyxxxxxxxy解得点P的坐标为)0,(21xx。设21xxt，由216rt及（1）得)41,0(t702（，）由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积||)22(212121xxxxS则]4))[(2(2122122112xxxxxxxxS将721xx，txx21代入上式，并令2)(Stf，得)270(34398288)27()27()(232tttttttf，∴)76)(72(2985624)`(2tttttf，令0)`(tf得67t，或27t（舍去）当670t时，0)`(tf；当67t时0)`(tf；当2767t时，0)`(tf故当且仅当67t时，)(tf有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为)0,67(。【例3】(2009湖南卷理)在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和。（Ⅰ）求点P的轨迹C；（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。【解析】（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则224(3)dxy243+xy2（）+3|x-2︳由题设d=18+x,即243+xy2（）+3|x-2|=18+x①当x2时，由①得221(3)6,2xyx②化简得221.3627xy当2x时由①得23+xy2（）=3+x,③化简得212yx故点P的轨迹C是椭圆221:13627xyC在直线x=2的右侧部分与抛物线22:12Cyx在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1图1（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与1C，2C的交点都是A（2，26），B（2，26），直线AF，BF的斜率分别为AFk=26，BFk=26.当点P在1C上时，由②知162PFx.④当点P在2C上时，由③知3PFx⑤若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为(3)ykx当k≤AFk，或k≥BFk，即k≤-26或k≥26时，直线l与轨迹C的两个交点M（1x，1y），N（2x，2y）都在C1上，此时由④知∣MF∣=6-121x,∣NF∣=6-122x.从而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣=（6-121x）+（6-122x）=12-12(1x+2x)由22(3)13627ykxxy得2222(34)24361080kxkxk.则1x，2x是这个方程的两根，所以1x+2x=222434kk，∣MN∣=12-12（1x+2x）=12-221234kk因为当226,6,24,kk或k2时-226,6,24,kk或k2时所以22212121001212.134114kMNkk212121001233114424=.k当且仅当26k时，等号成立。当AFk,2626AEANkkkkBFk,即,2626AEANkkkk时，直线l与轨迹C的两个交点1122(,),(,)MxyNxy分别在12,CC上，不妨设点M在1C上，点N在2C上，则由④⑤知，1216,32MFxNFx，设直线AF与椭圆1C的另一交点为E00012(,),,2.xyxxx则1021166,33222MFxxEFNFx