三角函数模块专题复习-课件

三角函数专题三角函数三角函数三角函数的诱导公式公式一～四：α＋2kπk∈Z，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号公式五、六：π2±α的正余弦函数值，分别等于α的余弦正弦函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号三角函数的图象与性质图象正弦曲线、余弦曲线、正切曲线图象特征性质周期性奇偶性单调性最大、最小值函数y＝Asinωx＋φ的图象A，ω，φ对函数图象的影响图象画法五点法变换法三角函数模型的简单应用专题一正弦函数与余弦函数的对称性问题正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx，在教材中已研究了它们的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．除了上述有关内容之外，近年来有关正弦函数、余弦函数等对称性问题在高考中有所出现，有必要对其作进一步的探讨．函数y＝sinx，x∈R的图象是中心对称图形，并且有无穷多个对称中心，对称中心是图象与x轴的任一交点，坐标为(kπ，0)(k∈Z)；函数y＝cosx，x∈R的对称中心坐标为(kπ＋π2，0)(k∈Z)，以上两个函数图象，也是轴对称图形，它们的对称轴分别是x＝kπ＋π2(k∈Z)和x＝kπ(k∈Z)；函数y＝tanx的对称中心坐标为(kπ2，0)(k∈Z)，但它不是轴对称图形．求函数y＝sin(2x－π6)的对称中心和对称轴方程．[分析]利用三角函数的图象，把2x－π6看做一个变量，用换元的方法求对称中心或对称轴方程，也可以考虑y＝sinx与y＝sin(2x－π6)的关系，利用变换的思想求对称轴与对称中心．[解析]设A＝2x－π6，则函数y＝sinA的对称中心为(kπ，0)，即2x－π6＝kπ，x＝kπ2＋π12，对称轴方程为2x－π6＝π2＋kπ，x＝π3＋k2π.所以y＝sin(2x－π6)的对称中心为(kπ2＋π12，0)，对称轴为x＝π3＋k2π(k∈Z)．[点拨]本例中给出求三角函数的对称轴与对称中心的两种方法，这都是解决三角问题的基本方法，要切实理解好．专题二三角函数的值域与最值问题求三角函数的值域(最值)可分为几类：(1)是y＝Asin(ωx＋φ)＋k类型的，应利用其图象与性质、数形结合求解．(2)是可化为以三角函数为元的二次函数类型，应确定三角函数的范围，再用二次函数求解．(3)利用几何意义求解等．已知函数y＝asin(2x＋π6)＋b在x∈[0，π2]上的值域为[－5,1]，求a、b的值．[分析]先由x的范围确定sin(2x＋π6)的范围，再根据a的符号，讨论a、b的值．[解析]∵x∈[0，π2]，∴2x＋π6∈[π6，76π]，sin(2x＋π6)∈[－12，1]．∴当a0时，a＋b＝1，－a2＋b＝－5，解得a＝4，b＝－3；当a0时，－12a＋b＝1，a＋b＝－5，解得a＝－4，b＝－1.∴a、b的取值分别是4、－3或－4、－1.[点拨]本题是先由定义域确定正弦函数y＝sin(2x＋π6)的值域，但对整个函数的最值的取得与a有关系，故对a进行分类讨论．设a≥0，若y＝cos2x－asinx＋b的最大值为0，最小值为－4，试求a、b的值．[分析]通过换元化为一元二次函数最值问题求解．[解析]原函数变形为y＝－(sinx＋a2)2＋1＋b＋a24.当0≤a≤2时，－a2∈[－1,0]，∴ymax＝1＋b＋a24＝0.①ymin＝－(1＋a2)2＋1＋b＋a24＝－4②由以上两式①②，得a＝2，b＝－2，舍a＝－6(与0≤a≤2矛盾)．当a2时，－a2∈(－∞，－1)，∴ymax＝－(－1＋a2)2＋1＋b＋a24＝0.③ymin＝－(1＋a2)2＋1＋b＋a24＝－4.由以上两式③④，得a＝2，不适合a2，∴应舍去．综上知，只有一组解a＝2，b＝－2.[点拨]一元二次函数区间最值问题含有参数时，应按照对称轴与区间的相对位置去讨论．专题三三角函数的性质及应用若θ为第二象限角，试判断sincosθcossin2θ的符号．[分析]确定符号，关键是确定每个因式的符号，而每个因式的符号关键是看角所在的象限．[解析]∵2kπ＋π2θ2kπ＋π(k∈Z)．∴－1cosθ0,4kπ＋π2θ4kπ＋2π(k∈Z)，－1sin2θ0，∴sin(cosθ)0，cos(sin2θ)0，∴sincosθcossin2θ0.专题四三角函数图象的平移及变换函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f1(x)的表达式；(2)将函数y＝f1(x)的图象向右平移π4个单位，得函数y＝f2(x)的图象，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合．[分析]首先由图可确定周期T＝1112π－(－π12)＝π，可得y＝Asinωx，利用平移知识可知，图象对应的函数为y＝Asinω(x－π12)．[解析](1)由图知，T＝π，于是ω＝2πT＝2.将y＝Asin2x的图象向左平移π12，得y＝Asin2(x＋π12)＝Asin(2x＋π6)，∴φ＝π6.将(0,1)代入y＝Asin(2x＋π6)，得A＝2.故f1(x)＝2sin(2x＋π6)．(2)依题意，f2(x)＝2sin[2(x－π4)＋π6]＝－2cos(2x＋π6)．当2x＋π6＝2kπ＋π，即x＝kπ＋5π12(k∈Z)时，ymax＝2.∴此时x的值集合为{x|x＝kπ＋5π12，k∈Z}．专题五数学思想一、数形结合的思想数形结合思想是重要的数学思想，它能把抽象的思维方式转化为形象、直观的思维方式，从而使问题变得简单明了．在本章中，数形结合思想贯穿始终，主要体现在以下几个方面：利用单位圆给出三角函数的定义，并推导出同角三角函数的基本关系；利用三角函数线画正(余)弦及正切函数的图象．设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是()A．[－4，－2]B．[－2,0]C．[0,2]D．[2,4][分析]要求f(x)＝0，可以将f(x)的零点转化为函数g(x)＝4sin(2x＋1)与h(x)＝x的交点．如图，g(x)和h(x)在同一坐标系中的图象．由此可知，本题选A.[答案]A[点拨]本题主要考查三角函数图象的平移和函数与方程的相关知识，将函数零点问题转化为函数图象的交点问题，从而利用函数图象数形结合巧妙解决．二、转化与化归思想在解决三角函数的相关问题时，常用到转化与化归思想，如证明三角恒等式及条件求值等，常常是化繁为简、化异为同、化“切”为“弦”，有时也逆用，这些都体现了转化与化归思想．已知tanθ＝2，求：(1)cosθ＋sinθcosθ－sinθ；(2)sin2θ－sinθcosθ＋2cos2θ.[分析]由于(1)、(2)中的三角函数都是齐次式，可考虑“弦”化“切”，然后代入求值即可．[解析](1)∵tanθ＝2，∴cosθ≠0，∴cosθ＋sinθcosθ－sinθ＝1＋sinθcosθ1－sinθcosθ＝1＋tanθ1－tanθ＝1＋21－2＝－3－22.(2)sin2θ－sinθcosθ＋2cos2θ＝sin2θ－sinθcosθ＋2cos2θsin2θ＋cos2θ＝sin2θcos2θ－sinθcosθ＋2sin2θcos2θ＋1＝2－2＋22＋1＝4－23.[点拨]对于第(2)小题，为了“弦”化“切”，凑了一个分母，体会其作用．