全同粒子体系习题解

第六章全同粒子体系习题解门福殿教授著《量子力学》第1页共17页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢第六章全同粒子体系习题解1．求在自旋态)(21zS中，xSˆ和ySˆ的不确定关系：?)()(22yxSS解：在zSˆ表象中)(21zS、xSˆ、ySˆ的矩阵表示分别为01)(21zS01ˆ102xS002ˆiiSy∴在)(21zS态中00101102)01(2121xxSS4010110201102)01(ˆ2222121xxSS4)(2222xxxSSS001002)01(ˆ2121iiSSyy401002002)01(ˆ2222121iiiiSSyy4)(2222yyySSS16)()(422yxSS讨论：由xSˆ、ySˆ的对易关系[xSˆ，ySˆ]zSiˆ要求4)()(2222zyxSSS16)()(422yxSS①在)(21zS态中，2zS∴16)()(422yxSS第六章全同粒子体系习题解门福殿教授著《量子力学》第2页共17页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢可见①式符合上式的要求。2．求002ˆ01102ˆiiSSyx及的本征值和所属的本征函数。解：xSˆ的久期方程为02220)2(22∴xSˆ的本征值为2。设对应于本征值2的本征函数为112/1ba由本征方程2/12/12ˆxS，得1111201102baba111111abbaab由归一化条件12/12/1，得1),(11*1*1aaaa即1221a∴212111ba对应于本征值2的本征函数为11212/1设对应于本征值2的本征函数为222/1ba由本征方程222/12/12ˆbaSx222222abbaab由归一化条件，得1),(22*2*2aaaa即1222a∴212122ba对应于本征值2的本征函数为11212/1第六章全同粒子体系习题解门福殿教授著《量子力学》第3页共17页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢同理可求得ySˆ的本征值为2。其相应的本征函数分别为i12121i121213．求自旋角动量)cos,cos,(cos方向的投影cosˆcosˆcosˆˆzyxnSSSS本征值和所属的本征函数。在这些本征态中，测量zSˆ有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？zSˆ的平均值是多少？解：在zSˆ表象，nSˆ的矩阵元为cos10012cos002cos01102ˆiiSncoscoscoscoscoscos2iiSn其相应的久期方程为0cos2)cos(cos2)cos(cos2cos2ii即0)cos(cos4cos42222220422)1coscoscos(222利用2所以nSˆ的本征值为2。设对应于2nS的本征函数的矩阵表示为baSn)(21，则第六章全同粒子体系习题解门福殿教授著《量子力学》第4页共17页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢babaii2coscoscoscoscoscos2bbiacos)cos(coscos1coscosib由归一化条件，得22**),(12121bababa1cos1coscos222aia1cos122a)cos1(2coscos1cos1)(21iSn)cos1(2coscos1cos1)(21iSn2121)cos1(2coscos2cos110)cos1(2coscos012cos1)(21iiSn2121)cos1(2coscos2cos110)cos1(2coscos012cos1)(21iiSn可见，zSˆ的可能值为22第六章全同粒子体系习题解门福殿教授著《量子力学》第5页共17页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢相应的几率为2cos12cos1)cos1(2coscos22cos22cos122cos12zS同理可求得对应于2nS的本征函数为)cos1(2coscos2cos1)(21iSn在此态中，zSˆ的可能值为22相应的几率为2cos12cos1cos2zS讨论：算符zSˆ的本征值为2，而z方向为空间的任意方向。现在把z方向特别选为沿n方向（这相当于作一个坐标旋转），则nSˆ的本征值也应为2。另外我们知道，本征值和表象的先取无关。这样选择nz//并不影响结果的普遍性。同理yxSSˆˆ和的本征值也都是2。我们也可以在nSˆ为对角矩阵的表象中（nS表象）求本征矢。显然这时nSˆ的知阵为2002所以本征矢为1001及注意到本征矢是随着表象选取的不同而改变的。现在是在nSˆ表象，而上面算出的zS是在2表象，算出的结果应用所不同，这是合理的。4．在z表象中，求n的本征态，)cos,sinsin,cos(sinn是),(第六章全同粒子体系习题解门福殿教授著《量子力学》第6页共17页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢方向的单位矢。（解）方法类似前题，设n算符的本征矢是：21ccx(1)它的本征值是。又将题给的算符展开：zyxnˆcosˆsinsinˆcossin(2)写出本征方程式：2121ˆcosˆsinsinˆcossincccczyx(3)根据问题（6）的结论，xˆ,yˆ对2ˆˆz的共同本征矢，，运算法则是xˆ，xˆ，iyˆ，iyˆ，zˆ，zˆ（4）将这些代入（3），集项后，对此两边，的系数：2211cos)sinsincos(sin)sinsincos(sincosccicic（5）或0)(cossin0sin)(cos2121ccececii（6）（6）具有非平凡解（平凡解01c，02c）条件是久期方程式为零，即0cossinsincosiiee它的解12（7）1时，代入（6）得：122cetgci（8）（1）的归一化条件是：12221cc将（8）代入（9），得：2cos)(1iec2sin2iec归一化本征函数是：2sin2cos1iiee（10）1时，21,cc的关系是：第六章全同粒子体系习题解门福殿教授著《量子力学》第7页共17页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢122cectgci归一化本征函数是：2cos2sin2iiee（11）是任意的相位因子。本题用矩阵方程式求解：运用矩阵算符：0110ˆx，00ˆiiy，1001ˆz（12）cossinsincosiieen(13)本征方程式是：2222cossinsincoscccceeii(14)n的本征矢是：iiee2sin2cos1)(,iiee2cos2sin2)((15)补白：本征矢包含一个不定的相位因式ie，由于可以取任意值，因此21,的形式是多式多样的，但（15）这种表示法是有普遍意义的。5.若ˆˆˆ,,xyz为泡利矩阵，证明：izyxˆˆˆ，并求：（1）在z表象中zyx,,的归一化本征函数；（2）在x表象中,yz的归一化本征函数；证：由对易关系zxyyxiˆ2ˆˆˆˆ及反对易关系0ˆˆˆˆxyyx，得zyxiˆˆˆ上式两边乘zˆ，得2ˆˆˆˆzzyxi∵1ˆ2z∴izyxˆˆˆ（1）在z表象中，z的矩阵是1001z因此z的本征值是1，而本征矢为01,10都已归一化。第六章全同粒子体系习题解门福殿教授著《量子力学》第8页共17页题解仅供参考,如有问题请联系[e-mail],谢谢在z表象中0110x；设其本征值为，本征矢为2121210110,aaaaaa则容易求得1相应的归一化本征函数为11211121和同理，在z表象中，00iiy，设其本征值为，本征矢为21bb，则212100bbbbii可求得：1相应归一化本征函数为ii121121和（2）求在x表象中。算符xˆ，zyˆˆ和的矩阵形式：在zˆ表象中，算符xˆ，zyˆˆ和的矩阵形式为00;0110;1001iiyyz对坐标轴作一旋转，把原来的z轴换成x轴，x轴换成y轴，y轴换成z轴。根据轮换关系，容易得出在x表象中，算符xˆ，zyˆˆ和的矩阵形式为：00;0110;1001iizyx在x表象中yˆ的本征值和本征矢：设本征值是21,aa本征矢是，则212121210110,aaaaaaaay即就有0021212112aaaaaaaaaa和1具有非零解的条件是1011当1时：111112aaa归一化后得：21,12,111