自动控制理论基础知识拉氏变换

1定义：如果以时间t为自变量的函数f(t)当t≥0时有定义，且积分st0()ftedt∞−∫在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数st0()()Fsftedt∞−=∫，称为函数f(t)的拉氏变换，记作()[()]FsLft=。拉氏变换是一种单值变换。f(t)和F(s)之间具有一一对应关系。f(t)——原函数，F(s)——象函数。记1()[()]ftLFs−=为拉氏反变换。2.性质：(1)线性性质1212[()()]()()LftftFsFsαβαβ±=± (2)微分定理[()]()(0)LftsFsf′=−              2[()]()(0)(0)LftsFssff′′′=−−              ()12(1)[()]()(0)(0)...(0)nnnnnLftsFssfsff−−−′=−−−−在零初始条件下，(1)(0)(0)(0)0nfff−′====，则[()]()LftsFs′= 2[()]()LftsFs′′= # ()[()]()nnLftsFs=上式表明：在初始条件为零的前提下，原函数的n阶导数的拉氏变换等于其象函数乘以sn。利用这个定理就可以将微分运算转换为代数运算。(3)积分定理在零初始条件下，2000()|()()|()()|0ntttftdtftdtftdt=======∫∫∫∫∫，则 ()()FsLftdts⎡⎤=⎣⎦∫ ()()()nnFsLftdts⎡⎤=⎣⎦∫∫ 上式表明：在零初始条件下，原函数的n重积分的拉氏变换等于其象函数除以sn。(4)初值定理0lim()lim()tsftsFs→→∞=上式表明：原函数f(t)在t=0时的数值（初始值），可以通过将象函数F(s)乘以s后，再求s→∞的极限求得。(5)终值定理上式求s（6）（7）（8）（9）3.特幂函阶跃单位单位式表明：原函数→0的极限）延迟定理：）位移定理：）相似定理：）卷积定理：特殊函数的拉函数的拉氏变换跃函数的拉氏变位速度函数（斜位脉冲函数拉数f(t)在t限求得。[()Lftτ−[()tLeftα−[tLfα⎛⎞⎜⎟⎝⎠10[(tLft−∫拉氏变换换变换斜坡函数）的氏变换limtf→∞→∞时的数]()seFsτ−=)](Fsα=+]()Fsαα=2)()]fdτττ−的拉氏变换0()limsftsF→=数值（稳态值）))α)12]()(FsFs=()Fs ），可以通过)s过将象函数F((s)乘以s后，，再单位几个4.(Fsf⇒位加速度函数个重要的拉f(t)δ(t)1(t)tae−拉氏反变换由象函数F(s拉氏变换的象例1：1)()(()atssaeftb−=+−=−例2：求F（抛物线函数拉氏变换)F()1)1/1st1/(s+s)求取原函数象函数与原函1()btsbbea−=+−−−21()(Fsss=+数）拉氏变换(s)1/s2s+a)数f(t)的运算称f函数是一一对1(asas−−+1)+的逆变换换f(t)sinwtcoswtsinatewt−cosatewt−称为拉氏反变1()[ftLF−=应的，所以通1)sb+ 换。((变换。()]Fs 通常可以通过F(s)22()wsw+22()ssw+2()wsaw++2()sasaw+++过查表来求取原))2w2w原函数。解：2211111()(1)1()[()]1tFssssssftLFste−−==−+++==−+ 5.拉式反变换求法-----部分分式展开式的求法1011111()()()()mmmmnnnnbsbsbsbMsFsmnDssasasa−−−−++++==++++ （1）情况一:F(s)有不同极点,这时,F(s)总能展开成如下简单的部分分式之和1212()nncccFsspspsp=+++−−− (1,2,,)()0,()[()]()iiiiisppinDscMscspDs====−式中是的根是常量 31211:()(1)(2)(3)123cccFsssssss==+++−++−+例 1122332311[(1)](1)(2)(3)611[(2)](1)(2)(3)1511[(3)](1)(2)(3)10111111()61152103111()61510ssstttcsssscsssscssssFssssfteee=−==−−−=⋅+=−+−+=⋅−=+−+=⋅+=+−+∴=−+++−+∴=−++ （2）情况2:F(s)有共轭极点例2：22222225523()45(2)1(2)123(2)1(2)1cos3sinttsssFssssssssfetet−−++++===+++++++=+++++∴=+ （3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点,而其余极点均不相同。那么111111111111()()()()()()()[()][()]()()lllnlllnlllsplbbccbMsFsDsspspspspspMsdMsbspbspDsdsDs−+−+=−==++++++−−−−−⎧⎫=⋅−=⋅−⎨⎬⎩⎭式中 11111111()1(),{[()]}{[()]}!()(1)!(),,,illllispsplndMsdMsbspbspidsDsldsDscc−−==+=−=−−仍按以前的方法算 ()[()]()(1,,)()0polejjjspjMscspDspjlnDs==−=+=式中是的其余互异。 例3： 3214332331332213111()(1)(1)(1)11[(1)]1(1)11[(1)][()]()1(1)ssssbbbcFsssssssbsssddbssdsssdss=−−=−=−=−==+++++++=+=−+⎧⎫=+==−=−⎨⎬+⎩⎭ 311303221(2)12!11(1)1111()(1)(1)11()12sstttbscsssFsssssfttetee−=−=−−−==−==+−−−=++++++⇒=−−−