2.2.2反证法(优秀课件)

2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程综合法已知条件结论分析法结论已知条件一、复习回顾二、引入思考？A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？分析:假设C没有撒谎,则C真.那么A假且B假;由A假,知B真.这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2）将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？二、引入思考？正难则反!假设有某种染法使同色的球数都不超过4个，则球的总数不超过4+4=8，这与球的总数是9矛盾。因此，假设不成立，无论怎样染，至少有5个球是同色的我们可以把这种说理方法应用到数学问题上把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明注：反证法是最常见的间接证法一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法。三、基本概念反证法的思维方法：正难则反反证法的证明步骤：①假设——假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定成立；③下结论——由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的结论成立。②找矛盾——从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛盾，与已知定义，公理，定理事实等矛盾，与出现的临时假设矛盾，在证明过程中出现自相矛盾等等），从而否定假设；简单记为：否定结论——推出矛盾——肯定结论，（其中推出矛盾是反证法证明的关键。）反证法是制造矛盾的专家。例1.求证：在个三角形中，至少有一个内角不小于60°注：结论中含“至多、至少”形式出现；直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考。四、例题选讲分析：从条件出发很难入手去证，可以考虑从反面入手证明：假设三角开有三个内角∠A、∠B、∠C都小于60°则有∠A+∠B+∠C＜180°，这与三角形内角和等于180°相矛盾。所以假设不成立，所以原结论成立，即在个三角形中，至少有一个内角不小于60°例2.已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。12则ax=b，ax=b12∴ax=ax12∴ax-ax=012∴a（x-x）=0∵a≠012120,即∴x-xx=x12与xx矛盾故假设不成立，结论成立。证：由于a≠0，因此方程至少有一个根x=b/a，注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,是唯一性问题,常用反证法```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2（x1≠x2)是方程的两个根.四、例题选讲////.3abababa求证：，，且，如果，和平面，已知直线例apb（1）直接证明有困难的一些命题（如有些基本定理的证明如平行线的传递性的证明）即正难则反!小结：1、哪些命题适宜用反证法加以证明？（3）以否定性判断作为结论的命题（2）关于唯一性结论的命题（即结论中有有且只有，有且仅有等关键字眼）（4）以至多，至少，不多于等形式陈述的命题（5）一些不等量命题的证明2.常用的正面叙述词语及其否定：正面词语等于大于（）小于()是都是都不是否定正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个否定不等于不大于（小于或等于)（≤）不小于（大于或等于）（≥）不是不都是至少有两个一个也没有某个某些至少有n＋1个某两个至少有一个是五.课堂练习：5,3,21、求证：不可能成等差数列证明：假设成等差数列,则有,这显然不成立所以假设不成立，不可能成等差数列5,3,252325,3,22、证明：在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角。证明：假设∠B不是锐角，则∠B≧90°，又因为∠A＞0°，∠C=90°所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°相矛盾。所以假设不成立，∠B一定是锐角。五.课堂练习：六.课堂小结①与已知条件矛盾；②与假设矛盾。③与已有公理、定理、定义矛盾。1、基本概念：①间接证明；②反证法2、反证法的证明步骤：⑴否定结论⑵推出矛盾——⑶肯定结论，（1）直接证明有困难（3）否定性命题（2）唯一性命题（4）至多，至少型命题3、常见适用反证法的命题：