选修1-2---2.2.2反证法课件

东平一中2.2直接证明与间接证明2019/11/7复习1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程综合法已知条件结论分析法结论已知条件2019/11/7•本节重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．•本节难点：应用反证法解决问题．教学目标•1．知识与技能结合实例的间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程与特点．•2．过程与方法了解反证法的特点、增强应用反证法证明的能力．•3．情感、态度与价值观培养学生的数学素养，发展学生的数学思维能力．2019/11/7•前言：推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。反证法是继前面学习完推理知识后，证明方法中的一种（间接证明问题的）基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养逆向思维能力。2019/11/7王戎不取路边李•王戎七岁的时候，曾经与小朋友们一起玩耍。他们见路边有棵李树，结了很多李子把枝条都压弯了，那些小朋友都争先恐后地跑去摘，只有王戎没有动。有孩子问他为什么不去摘李子，王戎回答说：“这树长在大路边上，还有这么多李子，这李子一定是苦的。”孩子们摘来一尝，果然是这样。[1]​2019/11/7将9个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结论吗？假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过4，则球的总数不应超过8，这与球的总数是9相矛盾假设不正确，因此，无论怎样染至少有5个球是同色的思考：探究：思考1：掀起你的盖头来——认识反证法2019/11/7思考2：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？分析:假设C没有撒谎,则C真.那么A假且B假;由A假,知B真.这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.2019/11/7•1．反证法的定义一般地，假设原命题不成立，经过，最后得出，因此说明假设，从而证明了原命题，这样的证明方法叫做反证法．反证法是的一种基本方法．•2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与矛盾，或与矛盾，或与定义、公理、、矛盾等．正确的推理矛盾错误成立间接证明已知条件假设定理事实反证法的思维方法：正难则反2019/11/7•1．反证法证明数学命题的四个步骤：第一步：分清命题的条件和结论；第二步：做出与命题结论相矛盾的假设；第三步：由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真．2.常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾．探究2：深度挖掘——了解反证法2019/11/7•3．反证法适宜证明存在性、唯一性、带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的一些数学问题．•4．用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面为“”；“≤”的反面为“”；“”的反面为“≤”；“”的反面为“≥”；“≠”的反面为“＝”；“＝”的反面为“≠”或“及”．•5．反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属于“间接证明方法”，书写格式易错之处是“假设”错写成“设”．2019/11/7常见的“结论词”与“反设词”如下：原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p∨q(¬p)∧(¬q)至多有n个至少有n＋1个p∧q(¬p)∨(¬q)2019/11/7例1（课本例题7）已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。分析：要说明两个方面存在性和唯一性；唯一性时可以用反证法探究3常见典型题目类型总结：2019/11/7证明；(存在性）a≠0，方程ax=b至少有一个根x=b/a。（以下为唯一性）证：假设方程ax+b=0(a≠0)至少存在两个根，1212不妨设其中的两根分别为x，x且x≠x12则ax=b，ax=b12∴ax=ax12∴ax-ax=012∴a（x-x）=01212∵x≠x，x-x≠0∴a=0与已知a≠0矛盾,故假设不成立，结论成立。2019/11/7•[例2]求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.•[证明]假设△ABC的三个内角A、B、C都小于60°，即∠A60°，∠B60°，∠C60°.相加得∠A＋∠B＋∠C180°.这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A、∠B、∠C都小于60°的假设不能成立，从而一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.2019/11/7[例3]若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a，b，c中至少有一个大于0.分析:本题证明略，可以假设都小于0，然后相加说明大于02019/11/7•解：假设，a,b,c都小于等于0•a+b+c=x2_2y+π/2+y2-2z+π/3+z2-2x+π/6•=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-30•所以a+b+c0•这与a,b,c都小于等于0矛盾，假设不成立，原命题成立2019/11/7•[说明](1)反证法是利用原命题的否定不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．•(2)对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．2019/11/7[证明]假设a，a＋1，a＋2成等差数列，其中a0，则有2a＋1＝a＋a＋2.两边再同时平方得4(a＋1)＝a＋a＋2＋2a(a＋2)，整理得a＋1＝a(a＋2)，两边再同时平方得a2＋2a＋1＝a2＋2a，即1＝0，这显然不成立，所以假设不成立，原命题成立，即a，a＋1，a＋2不可能成等差数列，其中a0.练习2变形练习题讲解：练习1假设B不是锐角练习2假设可以成等差数列2019/11/71、直接证明困难，原因何在？原因：①情况很多，分类讨论②条件太少直接证明找不到突破口反证法主要用于以下两种情形：1、要证的结论和条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰。2、如果从正面证明，需要分成多种情况进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形。对于“不可能，至少，唯一性”等题目常用课堂小结：2019/11/7我来告诉你1.存在性问题2.否定性问题3.唯一性问题4.至多、至少类问题5.一些基本命题、基本定理哪些问题适宜用反证法总之，直接证明比较困难的命题大家议一议！2019/11/7•[规律方法]当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．2019/11/7名家情系反证法反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具。牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一”。英国数学家哈代也曾这样称赞它：“反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让给对方！”2019/11/7---德国数学家希尔伯特说，禁止数学家使用反证法，就象禁止拳击家使用拳头。同学们，学了这节课，你们有何体会？反思与收获你能谈谈举反例与反证法的联系和区别吗？2019/11/7拓展阅读—反证法典型例子•证明：素数有无穷多个。•这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(EuclidofAlexandria，生活在亚历山大城,约前330～约前275,是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法：•假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a1a2……an.•此时，令N=a1*a2*……*an+1,那么所有的ai(i=1,2,……,n)显然都不是N的因子，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一个素数，但是显然有Nai(i=1,2……n).无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！2019/11/72222:若a,b,c均为实数,且a=x-2y+,2b=y-2z+,c=z-2x+,36求证:a,b,c中至少有一个大于0.1.课本P44习题2.2---3题2019/11/7当堂达标，用反证法证明：如果ab0，那么ab证：假设ab不成立，则a≤b若a=b，则a=b,与已知ab矛盾,若ab，则ab,与已知ab矛盾,故假设不成立，结论ab成立。2019/11/72019/11/7