二分图最大匹配

二分图匹配匈牙利算法和KM算法简介二分图的概念二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。设G=(V,{R})是一个无向图。如顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属两个不同的子集。则称图G为二分图。112233445最大匹配给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题(maximalmatchingproblem)如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。匈牙利算法求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的复杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。增广路的定义(也称增广轨或交错轨)：若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。匈牙利算法由增广路的定义可以推出下述三个结论：1－P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。2－P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。3－M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。匈牙利算法用增广路求最大匹配(称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出)算法轮廓：(1)置M为空(2)找出一条增广路径P，通过取反操作获得更大的匹配M’代替M(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止匈牙利算法程序清单：Functionfind(k:integer):integer;varst,sf,i,j,t:integer;queue,father:array[1..100]ofinteger;beginqueue[1]:=k;st:=1;sf:=1;fillchar(father,sizeof(father),0);repeat匈牙利算法fori:=1tondoif(father[i]=0)and(a[queue[st],i]=1)thenbeginifmatch2[i]0thenbegininc(sf);queue[sf]:=match2[i];father[i]:=queue[st];endelse匈牙利算法beginj:=queue[st];whiletruedobegint:=match1[j];match1[j]:=i;match2[i]:=j;ift=0thenbreak;i:=t;j:=father[t];匈牙利算法end;find:=1;exit;end;end;inc(st);untilstsf;find:=0;end;匈牙利算法在主程序中调用下面的程序即可得出最大匹配数。Bmatch:=0;ForI:=1tondoBmatch:=Bmatch+find(i);Writeln(Bmatch);一个关于二分图的性质：最大匹配数＋最大独立集＝X＋Y最佳匹配如果边上带权的话，找出权和最大的匹配叫做求最佳匹配。实际模型：某公司有职员x1,x2,…,xn,他们去做工作y1,y2,…,yn,每个职员做各项工作的效益未必一致，需要制定一个分工方案，使得人尽其才，让公司获得的总效益最大。数学模型：G是加权完全二分图，求总权值最大的完备匹配。KM算法穷举的效率－n！，我们需要更加优秀的算法。定理：设M是一个带权完全二分图G的一个完备匹配，给每个顶点一个可行顶标(第i个x顶点的可行标用lx[i]表示，第j个y顶点的可行标用ly[j]表示)，如果对所有的边(i,j)inG,都有lx[i]+ly[j]=w[i,j]成立(w[i,j]表示边的权)，且对所有的边(i,j)inM,都有lx[i]+ly[j]=w[i,j]成立，则M是图G的一个最佳匹配。证明很容易。KM算法对于任意的G和M，可行顶标都是存在的：l(x)=maxw(x,y)l(y)=0欲求完全二分图的最佳匹配，只要用匈牙利算法求其相等子图的完备匹配；问题是当标号之后的Gl无完备匹配时怎么办？1957年（居然比匈牙利算法早？？？），Kuhn和Munkras给出了一个解决该问题的有效算法，用逐次修改可行顶标l(v)的办法使对应的相等子图之最大匹配逐次增广，最后出现完备匹配。KM算法修改方法如下：先将一个未被匹配的顶点u(uin{x})做一次增广路，记下哪些结点被访问那些结点没有被访问。求出d=min{lx[i]+ly[j]-w[i,j]}其中i结点被访问，j结点没有被访问。然后调整lx和ly：对于访问过的x顶点，将它的可行标减去d，对于所有访问过的y顶点，将它的可行标增加d。修改后的顶标仍是可行顶标，原来的匹配M仍然存在，相等子图中至少出现了一条不属于M的边，所以造成M的逐渐增广。KM算法上述算法的证明也很容易Kuhn－Munkras算法流程：(1)初始化可行顶标的值(2)用匈牙利算法寻找完备匹配(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止参考文献王树禾《离散数学引论》吴文虎王建德《图论算法与程序设计》刘汝佳黄亮《算法艺术与信息学竞赛》2002年冬令营论文－孙方成《偶图的算法及应用》2004年冬令营论文－黄源河《浅谈图论模型的建立与应用》例题1PlacetheRobots（ZOJ1654）问题描述有一个N*M(N,M=50)的棋盘，棋盘的每一格是三种类型之一：空地、草地、墙。机器人只能放在空地上。在同一行或同一列的两个机器人，若它们之间没有墙，则它们可以互相攻击。问给定的棋盘，最多可以放置多少个机器人，使它们不能互相攻击。WallGrassEmpty例题1PlacetheRobots（ZOJ）模型一5467832112346578于是，问题转化为求图的最大独立集问题。在问题的原型中，草地，墙这些信息不是我们所关心的，我们关心的只是空地和空地之间的联系。因此，我们很自然想到了下面这种简单的模型：以空地为顶点，有冲突的空地间连边，我们可以得到右边的这个图：例题1PlacetheRobots（ZOJ）模型一5467832112346578在问题的原型中，草地，墙这些信息不是我们所关心的，我们关心的只是空地和空地之间的联系。因此，我们很自然想到了下面这种简单的模型：以空地为顶点，有冲突的空地间连边，我们可以得到右边的这个图：这是NP问题！我们将每一行，每一列被墙隔开，且包含空地的连续区域称作“块”。显然，在一个块之中，最多只能放一个机器人。我们把这些块编上号。同样，把竖直方向的块也编上号。例题1PlacetheRobots（ZOJ）模型二123451234例题1PlacetheRobots（ZOJ）模型二123451234把每个横向块看作X部的点，竖向块看作Y部的点，若两个块有公共的空地，则在它们之间连边。于是，问题转化成这样的一个二部图：112233445由于每条边表示一个空地，有冲突的空地之间必有公共顶点，所以问题转化为二部图的最大匹配问题。例题1PlacetheRobots（ZOJ）模型二123412354112233445比较前面的两个模型：模型一过于简单，没有给问题的求解带来任何便利；模型二则充分抓住了问题的内在联系，巧妙地建立了二部图模型。为什么会产生这种截然不同的结果呢？其一是由于对问题分析的角度不同：模型一以空地为点，模型二以空地为边；其二是由于对原型中要素的选取有差异：模型一对要素的选取不充分，模型二则保留了原型中“棋盘”这个重要的性质。由此可见，对要素的选取，是图论建模中至关重要的一步。例题1PlacetheRobots（ZOJ）小结例题2救护伤员（TOJ1148）无情的海啸夺取了无数人的生命.很多的医疗队被派往灾区拯救伤员.就在此时,医疗队突然发现自己带的药品已经不够用了,只剩下了N种。(1n=20)，随着病人病情的发展，每种药在每天能获得的效果是不一样的。同时，每天病人只能服用一种药。也就是说，这些药还够支持N天。现在，给出你每种药在每天使用的效果，请你判断当每种药都用完后所有药达到的效果之和最大可以是多少。例题3打猎猎人要在n*n的格子里打鸟，他可以在某一行中打一枪，这样此行中的所有鸟都被打掉，也可以在某一列中打，这样此列中的所有鸟都打掉。问至少打几枪，才能打光所有的鸟？建图：二分图的X部为每一行，Y部为每一列，如果(i,j)有一只鸟，那么连接X部的i与Y部的j。该二分图的最大匹配数则是最少要打的枪数。例题4最小路径覆盖一个不含圈的有向图G中，G的一个路径覆盖是一个其结点不相交的路径集合P，图中的每一个结点仅包含于P中的某一条路径。路径可以从任意结点开始和结束，且长度也为任意值，包括0。请你求任意一个不含圈的有向图G的最小路径覆盖数。理清一个关系：最小路径覆盖数＝G的定点数－最小路径覆盖中的边数例题4最小路径覆盖试想我们应该使得最小路径覆盖中的边数尽量多，但是又不能让两条边在同一个顶点相交。拆点：将每一个顶点i拆成两个顶点Xi和Yi。然后根据原图中边的信息，从X部往Y部引边。所有边的方向都是由X部到Y部。例题4最小路径覆盖因此，所转化出的二分图的最大匹配数则是原图G中最小路径覆盖上的边数。因此由最小路径覆盖数＝原图G的顶点数－二分图的最大匹配数便可以得解。