高三数学一轮复习导数导学案

课题：导数、导数的计算及其应用2课时一、考点梳理：1.导数、导数的计算（1）．导数的概念：一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝__________，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或0|xxy=.（2）．导函数：记为f′(x)或y′.（3）．导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________．（4）．基本初等函数的导数公式（5）．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝__________；(2)[f(x)·g(x)]′＝__________；(3)fxgx′＝__________(g(x)≠0)．（6）．复合函数的导数：2．导数与函数的单调性及极值、最值（1）导数和函数单调性的关系：(1)对于函数y＝f(x)，如果在某区间上f′(x)0，那么f(x)为该区间上的________；如果在某区间上f′(x)0，那么f(x)为该区间上的________．(2)若在(a，b)的任意子区间内f′(x)都不恒等于0，f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为____函数，若在(a，b)上，f′(x)≤0，⇔f(x)在(a，b)上为____函数．（2）函数的极值与导数(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：①____________；②________________;③_________________________.（3）求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)上的________；(2)将函数y＝f(x)的各极值与______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．二、基础自测：1．若函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则ΔyΔx等于()．A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2Δx22．曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为()．A．(－1,1)B．(－1，－1)C．(1,1)或(－1，－1)D．(1，－1)原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝axf′(x)＝________f(x)＝exf′(x)＝________f(x)＝logaxf′(x)＝________f(x)＝lnxf′(x)＝________3．(2012陕西高考)设函数f(x)＝2x＋lnx，则()．A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点4．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为－33，33，则a的取值范围是()．A．a＞0B．－1＜a＜0C．a＞1D．0＜a＜15．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为__________．6．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是__________．三、考点突破：考点一、根据导数的定义求函数的导数【例1-1】已知f′(2)＝2，f(2)＝3，则limx→2fx－3x－2＋1的值为()A．1B．2C．3D．4【例1－2】用导数的定义求函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的导数．【变式】：求函数y＝x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求出其导函数．考点二、利用求导公式、法则求导[例2]求下列函数的导数：(1)y＝(2x－3)2；(2)y＝tanx；(3)y＝xex；(4)y＝lnxx.（5）y＝ln(2x＋5)．【变式】求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝3xex－2x＋e；(2)y＝3－x；考点三、导数的几何意义【例3】已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．【变式】：求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值【例4】已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围；【变式】(2009·浙江)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．【例5】若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－43.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．【变式】设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．【例6】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．【变式】已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值．四、课题巩固：一、选择题：1．设f(x)为可导函数，且满足limx→0f1－f1－2x2x＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为()．A．2B．－1C．1D．－22．(2012辽宁高考)函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为()．A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)3．如图所示的曲线是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x21＋x22等于()A.89B.109C.169D.544.已知f′(x)是f(x)的导函数，在区间[0，＋∞)上f′(x)0，且偶函数f(x)满足f(2x－1)f13，则x的取值范围是()A.13，23B.13，23C.12，23D.12，23二、填空题：5．函数f(x)＝x－lnx的单调减区间为________．6．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________．7．已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是_____________．8．若a2，则函数f(x)＝13x3－ax2＋1在区间(0,2)上有________个零点．三、解答题9.已知函数f(x)＝xlnx.(1)求f(x)的极小值；(2)讨论关于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的个数．10．设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．11.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．(1)求m，n的值及函数y＝f(x)的单调区间；(2)若a1，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．课题：导数、导数的计算及其应用2课时参考答案二、基础自测：1．若函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则ΔyΔx等于()．A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2Δx22．曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为()．A．(－1,1)B．(－1，－1)C．(1,1)或(－1，－1)D．(1，－1)3．(2012陕西高考)设函数f(x)＝2x＋lnx，则()．A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点4．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为－33，33，则a的取值范围是()．A．a＞0B．－1＜a＜0C．a＞1D．0＜a＜15．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为__________．6．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是__________．参考答案：1．C解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝4Δx＋2(Δx)2，∴ΔyΔx＝4＋2Δx.2．C解析：y′＝3x2，∴3x2＝3.∴x＝±1.当x＝1时，y＝1，当x＝－1时，y＝－1.3．D解析：由f′(x)＝－2x2＋1x＝1x1－2x＝0可得x＝2.当0＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故x＝2为f(x)的极小值点．4．A解析：∵y′＝a(3x2－1)＝3ax＋33x－33，∴当－33＜x＜33时，x＋33x－33＜0.∴要使y′＜0，必须取a＞0.5．4x－y－3＝0解析：设切点为(x0，y0)，y′＝4x3,4x03＝4，∴x0＝1.∴y0＝1.∴l的方程为4x－y－3＝0.6．3解析：∵f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，而当x∈[1，＋∞)时，(3x2)min＝3×12＝3.∴a≤3，故amax＝3.三、考点突破：考点一、根据导数的定义求函数的导数【例1-1】已知f′(2)＝2，f(2)＝3，则limx→2fx－3x－2＋1的值为()．A．1B．2C．3D．4【例1－2】用导数的定义求函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的导数．【例1－1】C解析：令Δx＝x－2，则limx→2f(x)－3x－2＋1＝limΔx→0f(Δx＋2)－f(2)Δx＋1＝f′(2)＋1＝2＋1＝3.【例1－2】解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝11＋Δx－11＝1－1＋Δx1＋Δx＝－Δx1＋Δx(1＋1＋Δx).∴ΔyΔx＝－11＋Δx(1＋1＋Δx)，∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－11＋Δx(1＋1＋Δx)＝－12.∴f′(1)＝－12.【变式】：求函数y＝x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求出其导函数．解∵Δy＝x0＋Δx2＋1－x20＋1＝x0＋Δx2＋1－x20－1x0＋Δx2＋1＋x20＋1＝2x0Δx＋Δx2x0＋Δx2＋1＋x20＋1，∴ΔyΔx＝2x0＋Δxx0＋Δx2＋1＋x20＋1.∴Δx→0时，ΔyΔx→xx2＋1.∴y′＝xx2＋1.考点二、利用求导公式、法则求导[例2]求下列函数的导数：(1)y＝(2x－3)2；(2)y＝tanx；(3)y＝xex；(4)y＝lnxx.（5）y＝ln(2x＋5)．解：(1)y′＝(4x2－12x＋9)′＝8x－12.(2)y′＝sinxcosx′＝(sinx)′cosx－sinx(cosx)′cos2x＝cosxcosx－sinx(－sinx)cos2x＝1cos2x.(3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)．(4)y′＝lnxx′＝(lnx)′x－x