拉普拉斯变换-自动化ppt[修复的]

2019/7/311补充内容:拉普拉斯变换2019/7/312拉普拉斯变换1拉氏变换的定义2典型函数的拉氏变换3拉氏变换的性质4有理分式函数的拉氏反变换5拉氏变换求解微分方程2019/7/313微分方程式是描述线性系统运动的一种基本形式的数学模型。通过对它求解，就可以得到系统在给定输入信号作用下的输出响应。拉普拉斯变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是分析研究线性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不仅运算方便，也使系统的分析大为简化。拉普拉斯变换2019/7/314在控制工程中,使用拉氏变换的主要目的:拉普拉斯变换用它来研究系统动态特性。因为描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是建立在拉氏变换的基础之上的。2019/7/315一、拉氏变换定义0()[()]()stFsLftftedt原函数象函数时间域拉普拉斯变换复频域f(t)为实变量t的函数，（t0时,f(t)=0）称为原函数F(s)为复变量s的函数，称为f(t)的象函数js和都为实数2019/7/316二、典型函数的拉氏变换加于控制系统的外作用一般事先是不完全知道的,而且常常随着时间任意变化.为了便于对系统进行理论分析,工程实践中允许采用以下几种简单的时间函数作为系统的典型输入,即单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速度函数、指数函数、正弦函数、以及单位脉冲函数等。2019/7/317在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合(或断开)。在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义式10)(tft0t≥0图1-1单位阶跃函数)(tf10t其拉氏变换01)]([dtetfLst01stesss1)10(11、单位阶跃函数2019/7/318在自动控制原理中，斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信号。在研究随动系统时，常以斜坡信号作为典型的输入信号。ttf0)(t0t≥0)(tf图1-2单位斜坡函数)(tfto其拉氏变换dtettfLst0)]([dtestesstst001)(121s|bbbaaaudvuvvdu2、单位斜坡函数2019/7/3193、单位加速度函数2210)(ttft0t≥0其拉氏变换dtettfLst0221)]([31s2019/7/3110atetf0)(4、指数函数dteeeLstatat0][dtetas)(0)(为实数at0t≥0其拉氏变换as12019/7/3111)(为实数0sin][sindtettLst22sttfsin0)(t0t≥0其拉氏变换5、正弦函数2019/7/3112注:欧拉公式sin2cos2cossinjtjtjtjtjteetjeetetjt5、正弦函数2019/7/3113()()0012sjtsjtedtedtj22111()2jsjtsjts00()sinsin1()2stjtjtstFsLttedteeedtj求正弦函数（SinusoidalFunction）的象函数。()sinftt5、正弦函数解:sin2jtjteetj2019/7/3114为实数0cos][cosdttetLstttfcos0)(t0t≥0其拉氏变换6、余弦函数22sscos2jtjteet2019/7/3115在自动控制系统中，单位脉冲函数相当一个瞬时的扰动信号。000)(ttt)(t1)(tft01)(dtt性质)0()()(fdtttf0)()]([dtettLst其拉氏变换1且图1-3单位脉冲函数7、单位脉冲函数2019/7/3116)()]([11sFtfL)()]([22sFtfL设则121212[()()][()][()]()()LaftbftaLftbLftaFsbFs三、拉氏变换的性质1、线性性质－－齐次性和叠加性2019/7/3117则若)()]([sFtfL[()]()(0)dLftsFsfdt22'2[()]()(0)(0)dLftsFssffdt12'(1)[()]()(0)(0)(0)nnnnnndLftsFssfsffdt2、微分性质三、拉氏变换的性质2019/7/3118)()]([ssFtfdtdL)()]([222sFstfdtdL时，则有当0)0()0()0()1('nfff)()]([sFstfdtdLnnn三、拉氏变换的性质2019/7/3119则若)()]([sFtfL(1)11[()]()(0)LftdtFsfss)0(1)0(1)(1])([)2()1(222fsfssFsdttfL(1)()111[()]()(0)(0)nnnnLftdtFsffsss3、积分性质三、拉氏变换的性质2019/7/3120)(1])([sFsdttfL时，则有当0)0()0()0()()2()1(nfff)(1])([22sFsdttfL)(1])([sFsdttfLnn三、拉氏变换的性质2019/7/31214、终值定理)()]([sFtfL设且,存在，则0()lim()lim()tsfftsFslim()tft0lim()ssFs三、拉氏变换的性质2019/7/31225、初值定理存在，则且)(limssFs)(lim)(lim)0(0ssFtffst，设)()]([sFtfL三、拉氏变换的性质2019/7/3123则对任一实数设,),()]([asFtfL)()]([sFeatfLas时域位移定理)()]([asFtfeLat复数域位移定理6、位移定理三、拉氏变换的性质2019/7/31247、卷积定理)()]([11sFtfL)()]([,22sFtfL121212[()()][()][()]()()LftftLftLftFsFs则若卷积符号上式表明两个时间函数卷积的拉氏变换等于两个时间函数的拉氏变换的乘积。这个关系式在拉氏反变换中可以简化计算。三、拉氏变换的性质12121200()()()()()()ttftftftfdfftd※卷积2019/7/3125)()(1sFLtf1()()1()2jstjftLFsFsedsj四、有理分式函数的拉氏反变换从象函数中找出原函数，这就是拉氏反变换。2019/7/3126求拉氏反变换的方法有：(1)查表法(2)部分分式法四、有理分式函数的拉氏反变换2019/7/3127四、有理分式函数的拉氏反变换常用拉氏反变换★2019/7/3128一般象函数可以表示成如下的有理分式分母进行因式分解，得:101112()()()()mmmmnbsbsbsbFsspspsp()mn1011111()()()mmmmnnnnbsbsbsbBsFsAssasasa四、有理分式函数的拉氏反变换2019/7/31291、当A(s)=0无重极点(n个不等根)时，nnpscpscpsc2211)()(limsFpscipsiiniiipsc1111012()()()()()()mmmmnbsbsbsbBsFsAsspspsp四、有理分式函数的拉氏反变换11()()inptiiftLFsce2019/7/3130例已知,试求原函数。)3)(2)(1(35)(sssssF解：写成部分分式形式321)(321scscscsF1)3)(2)(1(35)1(lim11ssssscs求待定系数123,,ccclim()()iiispcspFs四、有理分式函数的拉氏反变换2019/7/31317)3)(2)(1(35)2(lim22ssssscs6)3)(2)(1(35)3(lim33ssssscsttteeetf3267)(0tlim()()iiispcspFs176()123Fssss四、有理分式函数的拉氏反变换1)3)(2)(1(35)1(lim11ssssscs2019/7/31332、当A(s)=0有r重根p1时，F(s)可表示为11()()...rrnBsFsspspsp四、有理分式函数的拉氏反变换11111111......()nrrrrrrncccccspspspspsp)()(lim11)(1sFpsdsdjcrjjpsjr！)()(lim)!1(111)1(11sFpsdsdrcrrrps)()(lim111sFpsdsdcrpsr)()(lim11sFpscrpsr2019/7/3134因此，原函数为)()(1sFLtfnnrrrrrrpscpscpscpscpscL111111111)()(1121211(1)!(2)!inptptrrrriirccttctcecerr四、有理分式函数的拉氏反变换系数:1,...,rncc计算方法按照无重根系数求解方法。lim()()iiispcspFs2019/7/3135例已知，试求原函数f(t)。)3()1(2)(2sssssF解：31)1()(43122scscscscsF21])3()1(2)1[(lim2212ssssscs43])3()1(21[(lim2211sssssdsdcs）1()11lim()()jrrjjspdcspFsjds！四、有理分式函数的拉氏反变换lim()()iiispcspFs32)3()1(2lim203ssssscs121)3()1(2)3(lim234ssssscs)3(12132)1(43)1(21)(2sssssF2019/7/3136)3(12132)1(43)1(21)(2sssssFttteetetf3121324321)((0)t四、有理分式函数的拉氏反变换tteet3121)23(2132(0)t2019/7/3137五、拉氏变换解微分方程利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：ubububyayayayammnnnn01)(01)1(1)(1．方程两边进行拉普拉斯变换并代入初始条件及输入。2．求出表达式Y(s)。3．用部分分式法展开求出y(t).2019/7/3138ssYyssYysysYs6)(6)0(5)(5)0()0()(2解：将初始条件代入得例2)0(,2)0(6)(6)(5)(yytytyty求微分方程满足初始条件的解。6122)()65(22sssYsss)3)(2(6122)65(6122)(222sssssssssssY五、拉氏变换解微分方程2019/7/313931223cccsss21021261(2)(3)ssscsss