高等数学基础知识点归纳

第一讲函数，极限，连续性1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊂B。⑵、相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A。⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。⑶、全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。⑷、补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作CUA。即CUA＝｛x|x∈U，且x不属于A｝。⑸、运算公式：交换律：A∪B=B∪AA∩B=B∩A结合律：（A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C）分配律：（A∪B)∩C=（A∩C）∪（B∩C)（A∩B)∪C=（A∪C）∩（B∪C)对偶律：CU（A∪B)=CUA∩CUBCU（A∩B)=CUA∪CUB集合中元素的个数⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)2、常量与变量⑴、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。⑵、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间[a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；(-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b；(-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞注：其中-∞和+∞，分别读作负无穷大和正无穷大,它们不是数,仅仅是记号。⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。3、函数⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母f、F表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。⑵、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。3、函数的简单性态⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数。函数的有界性，单调性应与相关点集I联系起来，离开了点集I。这些概念是没有任何意义的。⑵、函数的单调性：如果函数在定义域区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有)()(21xfxf，则称函数)(xf在区间(a,b)内是单调增加的。如果函数)(xf在定义域区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有)()(21xfxf，则称函数)(xf在区间(a,b)内是单调减小的。⑶、函数的奇偶性如果函数)(xf对于定义域内的任意x都满足)()(xfxf，则)(xf叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x都满足)()(xfxf，则)(xf叫做奇函数。注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。奇偶函数的定义域必关于原点对称。⑷、函数的周期性设)(xf的定义域为I。若存在0T，对任意的Ix，都使得))(()(ITxxfTxf，则称函数)(xf为周期函数，称T为其周期。注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域必是无限的点集，但也不能说是全体实数，如xytan的定义域为（-∞，+∞）。且xkππ/2(k=0,1,2....)A.奇函数+奇函数=奇函数B.偶函数+偶函数=偶函数C.奇函数·偶函数=奇函数D.奇函数·奇函数=偶函数E偶函数·偶函数=偶函数若)(xf以T为最小正周期，则)(xf以)0(T为最小正周期4、反函数⑴、反函数的定义：若由函数)(xfy得到)(yx，则称)(yx是)(xfy的反函数，)(xfy为直接函数，反函数也可记为)(1xfy注：xxffxff)]([)]([11⑵、反函数的存在定理：若在(a，b)上严格增(减)，其值域为R，则它的反函数必然在R上确定，且严格增(减).例题：2xy，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对于y取定的非负值,可求得yx.若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。如果我们加上条件，要求x≥0，则对y≥0、x=就是2xy在要求x≥0时的反函数。即是：函数在此要求下严格增(减).⑶、反函数的性质：在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x对称的。例题：函数xy2与函数xy2log互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线xy对称的。如右图所示：5、复合函数复合函数的定义：若y是u的函数：)(ufy，而u又是x的函数：)(xu，且)(x的函数值的全部或部分在)(uf的定义域内，那么，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数)(ufy及)(xu复合而成的函数，简称复合函数，记作)]([ufy，其中u叫做中间变量。注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。例题：函数与函数是不能复合成一个函数的因为对于的定义域(-∞,+∞)中的任何x值所对应的u值（都大于或等于2），使uyarcsin都没有定义。6、初等函数⑴、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：⑵、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.注：初等函数必须能用一个式子表示，不能用一个式子表示的函数不能称为初等函数，故分段函数一般不能叫初等函数7、数列的极限⑴、数列的极限：设{nx}为一数列，如果存在常熟a，对于任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在正整数N，使得当Nn时，不等式axn都成立，那么就称常数a是数列{nx}的极限，或者称数列收敛于a，记为axnnlim或)(naxn注：此定义中的正数ε只有任意给定，不等式才能表达出与a无限接近的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数ε是有关的，它是随着ε的给定而选定的。在利用数列极限定义证明某个数列是否存在极限时，重要的是对于任意给定的正数，只要能够指出定义中所说的这种正整数N确实存在，但没有必要去求最小的N。如果知道axn小于某个量（这个量是n的一个函数），那么当这个量小于时，axn当然也成立若令这个量小于来定出N比较方便的话，就可以采用这种方法。⑵、数列的有界性：对于数列，若存在着正数M，使得一切都满足不等式││≤M，则称数列是有界的，若正数M不存在，则可说数列是无界的。⑶、收敛数列的几个重要性质：A.极限的唯一性：如果数列{nx}收敛，那么它的极限唯一。（根据极限的定义用反证法证明）B.有界性：如果数列{nx}收敛，那么它一定有界。注：数列收敛是数列有界的充分非必要条件。即数列收敛，一定有界，但数列有界不一定收敛。例：数列1，-1，1，-1，…，(-1)，…是有界的，但它是发散的。C.保号性：如果axnnlim且0a（或0a）那么存在正整数0N，当Nn时，都有0nx（或0nx）推论：如果数列{nx}从某项起有0nx（或0nx），且axnnlim，那么0a（或0a）注：即使从某项起有0nx（或0nx），且axnnlim，那么a不一定一定为0a，也有可能0a。D.收敛数列与子数列的关系：如果数列{nx}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限是a。如果数列{nx}有俩个子数列收敛于不同的极限，那么数列{nx}是发散的。⑷.数列存在的充分必要条件：axnnlimaxxnnnn122limlim其任一子数列的极限都为a8、函数的极限前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取n→∞内的正整数，若自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点x0下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念!⑴、函数的极限(分两种情况)a):自变量趋向无穷大时函数的极限定义：设函数)(xf当x大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在着正数X，使得当x满足不等式Xx时，对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(，那么常数A就叫做函数)(xf当x时的极限，记作Axfx)(lim或Axf)(（当x）注：)(xx时)(xf的极限定义只需要将以上定义中的Xx改为Xx（或Xx）即可。下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下：b):自变量趋向有限值时函数的极限定义：设函数)(xf在点0x的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在着正数，使得当x满足不等式00xx时，对应的函数值)(xf都满足不等式Axf