公平席位分配Q值法

1问题的假设与符号定义1.1问题的假设:1.席位是以整数计量的,并且为有限个,设为N个；2.每个系别有有限个人,席位是按各集体的人员多少来分配的；3．每个系别的每个人被选举都是等可能的；4．每个单位至少应该分配到一个名额,如果某个单位,一个名额也不应该分到的话,则应将其剔除在分配之外；5．在名额分配的过程中,分配是稳定的,不受任何其他因素所干扰.1.2符号的定义：n---－表示某系别的席位数（n1、n2、n3分别表示甲、乙、丙的席位数）；p----表示某系别的人数（p1、p2、p3分别表示甲、乙、丙的人数）；q-------表示总席位数；N-------表示总的席位人数.Q-------表示某单位的Ｑ值.3问题的分析通常人们都是按照人数比例来进行分配的.当比例中有小数时,人们又按照惯例将多余的席位分给比例中小数最大者.我们能得出以下结论：Npqn/*公式：4模型建立目标:建立公平的席位分配方案.4.1引出绝对不公平值并给出相对不公平值:设A,B两方人数分别为21,pp；分别占有1n和2n个席位,则两方每个席位所代表的人数分别为11np和22np.我们称2211npnp为.例：10,100,1202121nnpp则22211npnp；又10,1000,10202121nnpp则22211npnp由上例可知,用绝对不公平程度作为衡量不公平的标准,并不合理,下面我们给出相对不公平值.①若2211npnp则称11221222211npnpnpnpnp为对A的相对不公平值,记为),(21nnrA；②若2211npnp则称12112111122npnpnpnpnp为对B的相对不公平值,记为),(21nnrB.4.2给出相对公平的席位分配方案:如果，AB两方分别占有1n和2n席,利用相对不公平值Ar和Br讨论,当总席位增加1席时,应该分配给A还是B.不妨设1122pnpn,即对A不公平,当再分配一个席位时,有以下三种情况：I.当22111ppnn时,这说明即使给A增加1席,仍然对A不公平,所以这一席显然应给A方.II.当22111ppnn时,这说明给A增加1席,变为对B不公平,此时对B的相对不公平值为:21121211-1()(,)Bpnrnnpn（3）III.当22111ppnn时,这说明给B增加1席,将对A不公平,此时对A的相对不公平值为:12122111-1()(,)Apnrnnpn（4）因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小,所以如果121211(,)(,)BArnnrnn（5）则这1席给A方,反之这1席给B方.由(3)(4)可知,(5)等价于2122221111()()ppnnnn（6）不难证明上述的第I种情况22111ppnn也与(6)式等价,于是我们的结论是当(6)式成立时,增加的1席应给A方,反之给B方.若记:2,=1,21()iiiipQinn则增加的1席给Q值大的一方.4.3模型内部推广:上述方法可以推广到有m方分配席位的情况.设第i方人数为ip,已占有in个席位.当总席位增加1席时,计算:2,=1,21()iiiipQimnn，，则增加的1席应分配给Q值大的一方.这种席位分配的方法称为Q值法.5模型求解5.1下面用Q值法讨论甲，乙，丙系分配20个席位的问题：先按照比例将整数部分的10席分配完毕n1=10,n2=6,n3=3,.再用Q值法分配第20席和第21席；分配第20席,计算得:Q1=96.4;Q2=94.5;Q3=96.3Q1最大,于是这1席应分给甲系.分配第21席,计算得:Q1=80.4;Q2=94.5;Q3=96.3;Q3最大,于是这1席应分给丙系.5.2现象分析及结果：根据Q值分配结果与假定情况一的现象,易得出:惯例分配总席位为21时,分配不公平,以至得出总席位数N增加一个,丙的席位数反而减少了一个的错误结论.6模型评价●我们巧用绝对值,避免了分两种情况.从而简化了运算.●改进后的Q值法席位分配方案应用性推广,分配更公平.