抛物线的标准方程

11133((11))抛物线的标准方程一、教学目标设计1、掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程.2、通过对抛物线概念和标准方程的学习，体验解析法，形成分析和概括的能力.3、通过对抛物线问题的分析和解决，形成良好的学习和思维习惯，初步形成勇于探索、严谨细致的科学态度.二、教学重点及难点抛物线的概念、抛物线标准方程.数形结合思想方法在概念理解与解题中的运用.三、教学过程（一）抛物线的定义1．引入课题我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种曲线，今天学习第四种曲线——抛物线.同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运动轨迹，在函数中，二次函数的图像也被称之为抛物线.问题1：抛物线是满足什么条件的动点的轨迹？我们知道圆、椭圆、双曲线的几何性质都是由距离刻画的，那么抛物线上的点的性质能否用距离来刻画呢？我们可以从考察最简单的二次函数2xy的图像入手来探索这个问题.问题1．1二次函数2xy图像上的点具有怎样的几何性质？222222111111()||21621644xyxyyyyxyy发现，2xy图像上的点到定点F(0,41)的距离等于到直线y=41的距离.那么，到定点F(0,41)的距离与直线y=41的距离相等的点是否都在二次函数2xy的图像上？因为以上各步可逆所以答案是肯定的.问题1．2是否所有的二次函数的图像都具有类似的几何性质？我们只要看2axy)0(a，能否作类似2xy的变形即可.2222222111112424yaxyxxyyyyaaaaa2211||44xyyaa，可以看到，抛物线y=2ax上所有点到定点10,4a与定2直线14ya相等.问题1．3函数)0(,2acbxaxy图像上的点呢？abacabxay44)2(22由2axy的图像平移而得.其几何特性不变.所以抛物线上任意一点到已知定点和定直线的距离相等.由此，我们能不能说抛物线是到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹呢？目前尚不能.轨迹必须既满足纯粹性，又满足完备性，这里知证明了抛物线上的点所具有的几何性质，还未证明其完备性.（证略）我们还可以作一个直观的演示：把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上；把一块三角板的一条直角边紧靠着直尺的边缘；把一条绳子的一端固定在三角板的另一条直角边上的一点A，截取绳子的长等于从点A到直线l的距离AC，并且把绳子的另一端固定在画图板的一点F；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样粉笔就描出一条曲线.问题1．4能否从几何的角度来概括抛物线定义？定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（定点F不在定直线l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.思考：如果定点F在定直线l上，动点的轨迹是什么？（二）抛物线的标准方程问题2如何求抛物线的标准方程？设定点F到定直线l的距离为)0(pp（定点不在定直线上），下面，我们来求抛物线的方程.问题2.1首先要建立直角坐标系，如何建立直角坐标系？以对称轴为x轴，原点定在何处？由学生思考：可能出现的结果：FllFlFAFKL3(1)(2)(3)可供选择的原点的位置：一、准线与对称轴交点，二、焦点，三、前述两点的中点.问题2.2如何分别求出不同坐标系下抛物线方程?（注意求轨迹方程的五个步骤）（1）以准线为y轴：2222()2xpyxypxp（2）以焦点为原点：22222xyxpypxp（3）以顶点为原点：222()222ppxyxypx（1）和（2）中的方程都含有常数项，而（3）的形式更简单.我们按上述第三种方法（如图３），取经过F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的中垂线为y轴，且使F位于x轴正半轴，建立直角坐标系，所得到的方程22ypx叫做抛物线的标准方程.其中p是焦点到准线的距离.问题2.3顶点在原点，焦点在y轴正半轴，焦点在x轴负半轴，焦点在y轴负半轴.你能写出这三种情况下抛物线的方程吗？除了按定义推导外，有没有简单的方法？选择焦点在y正半轴，定点在原点的抛物线，求它的方程.（1）22||22ppxyy22xpy（2）坐标变换.对于pxy22，若是将它的坐标逆时针旋转090，得到的抛物线的方程：//,yxxy22xpy.同理也可以求出其它情况，完成下列表格：标准方程图形顶点对称轴焦点准线pxy22(0,0)x轴(2p,0)2pxpxy22(0,0)x轴(-2p,0)2pxpyx22(0,0)y轴(0,2p)2py4pyx22(0,0)y轴(0,-2p)2py我们把上述四种位置的抛物线方程都称为抛物线的标准方程.由列表知，若给出抛物线标准方程，就可以找到抛物线的焦点坐标与准线方程，反之，若抛物线顶点在原点，已知焦点坐标或准线方程（取其一）就可以写出抛物线标准方程.问题2.4回到最初的问题，y=x2的图像是怎样的抛物线呢？y=x2的图像是顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线。请学生写出焦点坐标与准线方程.巩固练习：如果将方程改为y=-2x2呢？写出它的焦点坐标与准线方程.如果该曲线上有一点到焦点的距离是4，试问，它到y轴的距离是多少？你能求出它的坐标吗？（三）小结与作业1）小结回顾本节课的学习过程，请学生作一小结.我们从一个熟悉的二次函数出发，通过探究二次函数的图像的几何特性，学习了抛物线的定义，为抛物线建立了四种形式的标准方程.为什么把这种性质的曲线称为抛物线呢？因为抛射物体的轨迹也具有这种性质.2）习题册1，2，3，4